数学の最大点最小点について

f ( x ) = ( x - 1 )^1/3 + 1/2( x + 1 )^2/3 の [ -2 , 7 ] における最大点、最小点の求め方を教えてください。
導関数は求められるのですが、その後からがわかりません。よろしくお願いします。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/30 15:02

f ( x ) = ( x - 1 )^1/3 + (1/2)( x + 1 )^2/3

↑　(x+1)^2/3は分母ではない　ということでしょうか？

そういうことなら
f'(x)=(1/3)(x-1)⁻²/³+(1/3)(x+1)⁻¹/³
=(1/3)(x²-2x+1)⁻¹/³+(1/3)(x+1)⁻¹/³
=(1/3)[{1/³√(x²-2x+1)}+{1/³√(x+1)}]
ですよね
f'(x)の分母=0となるxを調べると　x=-1および、x=1ですから
どうもこの辺の微分係数は怪しいですよね（微分可能でないかf'(x)=∞になりそうです）

面倒なんで詳しくはやりませんが
[-2,7]の範囲でのf(x)の連続性を一応調べ（　←←←まあ、連続なんでしょうけど・・・）
x=-1および、x=1でのf'(x)の様子も調べてください　←←←x=-1では微分係数が存在しないで、きっとグラフがとんがっているのでしょう
x=1では微分係数が無限大　つまりx=1におけるグラフの接線が縦軸に平行なんでしょう・・・
このことに注意しつつ　f'(x)からグラフの増減を論じてください
x=1のところに関しては　
-1<x<7で　f'(x)>0は比較的簡単に分かるので、
x=1もふくめてこの区間では単調増加
このことは簡単に把握できそうですよね・・・

x=-1でのf(x)の連続性と
-2<x<-1におけるf(x)の増減をf'(x)から調べて
-1<x<7におけるf(x)の単調増加
これらをあわせて、きっとグラフは-2<x<-1で単調減少、
x=-1で下側へとんがり(とんがるため、ここx=-1で微分可能ではない）
-1<x<7で単調増加　ということなんだと思われます

この結果　[-2,7]の区間では　下側へのとんがり部分x=-1で最小
最大は　区間の端点　x=-2またはx=7で取ることになりそうです

これらを参考に正式な答案を作ってみてください

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/11/30 04:51

逆でした。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/11/30 04:50

f(x)=(x-1)¹/³+(1/2)(x+1)²/³

f'(x)=(1/3)(x-1)⁻²/³+(1/3)(x+1)⁻¹/³
=(1/3)(x-1)⁻²/³{1+(x+1)¹/³}=0
→ x=-1-1=-2

微分可能関数fの極値は開区間で最大または最小となるから、(-2,7)
の間に極値はないので、「連続関数fは閉区間[-2,7]で最大最小を持
つ」ことから、fの最大または最小は
f(-2)=-3¹/³+1/2
または
f(7)=6¹/³+(1/2)8²/³=6¹/³+2
になる。

したがって、
最大点、x=－２
最小点、x=7