二項分布の平均と分散について

離散型確率変数 X，Y が互いに独立で，それぞれ二項分布 B(n1, p1)，B(n2, p2) に従うとき，
和 X＾２ + Y＾2 の平均と分散はどのようにしたら求まるのでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/02 10:25

まずは、

・X の期待値：E[X] = n1*p1
・X の分散　：V[X] = n1*p1*(1 - p1)
・Y の期待値：E[Y] = n2*p2
・Y の分散　：V[Y] = n2*p2*(1 - p2)
です。
これは基本中の基本。

次に、期待値、分散の関係は
　V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2　　　　①
ですから（これも基本）
　E[X^2] = V[X] + {E[X]}^2
同様に
　E[Y^2] = V[Y] + {E[Y]}^2
従って、
　E[X^2 + Y^2] = E[X^2] + E[Y^2]
　　　　　　　　= V[X] + {E[X]}^2 + V[Y] + {E[Y]}^2

X と Y が独立であれば、X^2 と Y^2 も独立なので
　V[X^2 + Y^2] = V[X^2] + V[Y^2]
ここで、①の公式から
　V[X^2] = E[(X^2)^2] - {E[X^2]}^2
　　　　　= E[X^4] - {E[X^2]}^2

これを計算するには「 E[X^4] 」が必要ですが、これは二項分布のモーメント母関数
　Mx(t) = (pe^t + 1 - p)^n
から求めないといけないかな。Mx(t) の４次導関数で t=0 とすれば E[X^4] が求まります。
Y についても同じ。
　計算はご自分で。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
二乗の扱いをどのようにしたら良いかわからなかったのでとても参考になります

お礼日時：2020/12/02 12:32