対数 √に、何乗すればいいか分かりません

下の画像の問題は、底の変換公式より、底を5にした場合、分母は分かるんですが、分子の√125が、5の何乗なのかが、分からないです、、√の時は、何乗をどう考えるのかの考え方を教えてください

質問者からの補足コメント

• √2は、2乗して、2
  √3は、2乗して、3ですよね？
  
  2を1／2すれば、√2になりますか？
  √125が、5の何乗かは、どのように、求めればいいのですか？

    補足日時：2020/12/05 15:40

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/05 18:55

指数法則ってのがあって、(x^a)^b = x^(ab) です。

a = 1/2, b = 2 を代入してみると、(x^(1/2))^2 = x.
2乗して x になるものが √x ですから、√x = x^(1/2)
だと判ります。これを使って
log[5] √125 = log[5](125^(1/2)) = (1/2) log[5] 125.
125 = 5^3 は、気合で素因数分解するしかありません。
log[5] 125 = log[5](5^3) = 3 log[5] 5 = 3.
よって log[5] √125 = 3/2 になります。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/12/05 16:15

√125=125^(1/2)　[125の1/2乗]

∴log₂₅√125=(1/2)log₂₅125=(1/2)log₂₅(25×5)=

(1/2){log₂₅25 +log₂₅5}=(1/2)(1+log₂₅5)

ここで、√25=5だから
log₂₅5＝log₂₅√25=(1/2)log₂₅25=1/2

∴(1/2)(1+log₂₅5)=(1/2)(1+1/2)＝3/4

log₂₅√125=3/4

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/05 16:02

No.3 です。

最初から「対数の底の変換」をして

　log[25](√125) = log[5](√125) / log[5](25)
　　　　　　　　= log[5][5^(3/2)] / log[5](5^2)
　　　　　　　　= (3/2)log[5](5) / 2log[5](5)
　　　　　　　　= (3/2) / 2
　　　　　　　　= 3/4

でもいいです。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/05 15:59

No.2 です。

ああ、「補足」にしか回答していなかった。

本質問の方は、対数の底を [ ] で書くと

　log[25](√125) = log[25][5^(3/2)] = (3/2)log[25](5)　　①

ここで、対数の底の変換により
　log[25](5) = log[10](5) / log[10](25)
　　　　　　= log[10](5) / log[10](5^2)
　　　　　　= log[10](5) / 2log[10](5)
　　　　　　= 1/2
ですから、①の続きは

　log[25](√125) = (3/2)(1/2) = 3/4

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/05 15:51

＞2を1／2すれば、√2になりますか？

2を1／2したら、１です。
　2 × (1/2) = 1
ですから。

2 を (1/2)乗 したら √2 です。「ルート、平方根」とは「(1/2)乗」のことですから。

＞√125が、5の何乗かは、どのように、求めればいいのですか？

　125 = 25 × 5 = 5 × 5 × 5 = 5^3
です。(「3乗」「(1/2)乗」を「^3」「^(1/2)」のように書きます）

上に書いたように
　√125 = 125^(1/2)
なので
　√125 = 125^(1/2) = (5^3)^(1/2) = 5^(3/2)
になります。
別な書き方をすれば
　√125 = 5^(3/2) = [5^(1/2)]^3 = (√5)^3
とも書けます。

「指数の演算」（指数どうしのかけ算・割り算、指数の〇乗など）をきちんと理解しましょう。

No.1 回答者： あかにまかはゎつかさら 回答日時： 2020/12/05 15:46

125は5の3乗だから、√125なら3/2乗