部分積分の問題について質問です。 自分の解答の赤線部がどう間違っているのかが分かりません。どうか教え

部分積分の問題について質問です。
自分の解答の赤線部がどう間違っているのかが分かりません。どうか教えてください。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/17 12:28

１つめの赤線について

∫(x-1)'log(1-x)dx=(x-1)log(1-x)-∫(x-1){log(1-x)}'dx
ですから、この等式の右辺の{log(1-x)}'を解説すると次のようになります

t=(1-x)とおくと　
dt/dx=(1-x)'=-1
y=log(1-x)とおくと
y=logt
dy/dt=(logt)'=1/t

定理：(dy/dx)=(dy/dt)(dt/dx) ・・・（←←←これを合成関数の微分と呼びます）
により
{log(1-x)}'＝y'=dy/dx
=(dy/dt)(dt/dx)
=(1/t)(-1)
=-1/t
=-1/(1-x)
=1/(x-1)

このことから
∫(x-1)'log(1-x)dx=(x-1)log(1-x)-∫(x-1){log(1-x)}'dx
=(x-1)log(1-x)-∫(x-1){1/(x-1)}dx
=(x-1)log(1-x)-∫1dx
=(x-1)log(1-x)-∫dx

以下積分の直前の符号が連鎖的にマイナスに変わります

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/02/16 21:21

後ろの積分の合成関数の微分を間違えているね。

∫log(1-x)dx
=(x-1)log(1-x) - ∫(x-1)(1/(1-x))(-1)dx
=(x-1)log(1-x) - ∫dx
=(x-1)log(1-x) - x + C