なぜこのような問でイには1が入るんでしょうか

なぜこのような問でイには1が入るんでしょうか

質問者からの補足コメント

• 回答よろしくお願いします

    補足日時：2021/02/22 14:27

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/22 15:55

e≒2.7だが　単純化してe=3だとみなしておくと

y=e^(-t)=3^(-t)
⇔y=1/(3^t)
は単調減少関数で
t>0ではyは１を超えませんよね
ゆえに正の数cに対して
e^(-c)<1
このことから
①を変形して
|(e^-x)-(e^-y)|/|x-y|=e^(^c)<1
⇔|(e^-x)-(e^-y)|/|x-y|<1
⇔|(e^-x)-(e^-y)|<|x-y|
⇔|(e^-x)-(e^-y)|<1・|x-y|…①'

ゆえに　※の式においてk=1を代入なら①'そのものとなるので
このときは※が成立です

k=2に関しては　①'より
2|x-y|-1|x-y|=1|x-y|>|(e^-x)-(e^-y)|
⇔|(e^-x)-(e^-y)|<2|x-y|-1|x-y|<2|x-y|
⇔|(e^-x)-(e^-y)|<2|x-y|
やはり※が成立しています
要するに　
1|x-y|<1.000000001|x-y|<1.0000002|x-y|<・・・なんで
|x-y|の係数が１より大きくなれば
|(e^-x)-(e^-y)|<1・|x-y|<1.00001・|x-y|＜・・・<2・|x-y|
<・・・1000・|x-y|<・・・
ですから
他の1より大きいkについても　※が成立です

では　k=0.5にしてみます
①'より|(e^-x)-(e^-y)|と1|x-y|との大小関係は後者の方が大きい
0.5|x-y|と1|x-y|との大小関係では|x-y|の係数比較で　後者の方が大きい
しかし　この情報からは　|(e^-x)-(e^-y)|と0.5|x-y|との大小関係は不明
k=0.9などでも同様
※の式は、k|x-y|の方が|(e^-x)-(e^-y)|より大きいときに成り立つんだから
確実に※になるのはk=1以上
k=1未満ではk|x-y|と|(e^-x)-(e^-y)|との大小関係が不明
ということで　k=1を境に場合分けとなっていますよ

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/02/22 17:40