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2つの三角形のそれぞれの角度が等しいとき、いわゆる相似のとき、なぜ辺の比が等しいのですか。探しても見つかりません…

質問者からの補足コメント

  • みなさんありがとうございます!

      補足日時:2021/03/17 22:02
gooドクター

A 回答 (7件)

2つの三角形の一方を、


対応する1頂点が重なり、かつ
対応する2辺が同一直線状にくるように
移動します。そうすると、
三角形のそれぞれの角度が等しいことから
同位角相等により
重ならなかった2辺が平行になります。
平行線が直線を分割する長さの比は等しいので、
重ねた頂点を挟む2辺において
2つの三角形の間の辺比は等しくなります。
重ねる頂点を各頂点に移して同様にやれば、
2つの三角形の間の辺比は3辺で等しいことが判ります。
この辺比が、2つの三角形の相似比です。
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2つの三角形のそれぞれの角度が等しいとき、辺の比が等しいということは証明できることだし、証明の必要もあります。

ただ、このような基礎的なことを証明しようとすると、何が前提にできるのかを整理して、そこから積み上げる必要があります。

例えば、平行線と線分の比の証明に相似を使っている例があります。
https://media.qikeru.me/parallel-segment-proof/
相似を使って、平行線と線分の比を証明しておいて、
2つの三角形のそれぞれの角度が等しいとき、辺の比が等しいことの証明に平行線と線分の比を使うのはおかしいのです。平行線と線分の比を相似を使わずに証明しているのかもしれませんが、となるとそれを示さないと2つの三角形のそれぞれの角度が等しいとき、辺の比が等しいことの証明になりません。と言ったように、どんどん遡って土台から積み上げることになります。

そこまでの説明はここではできません。ユークリッドの原論に載っていますので、お読みになると疑問が解決するでしょう。
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もとの三角形を〇倍に拡大コピー(縮小コピー)したものが相似な三角形だから、


相似な三角形の各辺は、元の辺の〇倍になっています
という事は対応する辺について、比にすれば
元の三角形の辺:相似な三角形の辺
がどれも等しくなるのは当然のことですよね

また、縮小コピーの場合についていえば
△ABCの辺AB上に点B'
辺AC上に点C'を
BC平行B'C'となるように取れば
△ABC相似△AB'C'で 2つの三角形の対応する角が等しくなりますよね
このとき、平行線と線分の比から
AB':B'B=AC':C'Cで
これをもとに
AB:AB'=AC:AC'(⇔AB/AB'=AC/AC')が導かれます
 
視点を真逆にして
△AB'C'を拡大コピーしたものが△ABCだと思えば
拡大コピーの関係にある相似な三角形についても同様に考えられます
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相似の定義は「形が変わらず、大きさだけが違う2つ(以上)の図形の関係」のことなので、


「相似ならば、対応する辺の比は等しい」
のです。
だから、主さんの質問は
「2つの三角形の対応する2角が等しいと、
なぜ相似と言えるのか?」に変えた方が
いいですね。
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地図の縮尺と同じ理屈です。

同じ形を拡大,縮小する倍率を想起すれば分かりやすいと思います。
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それがいわゆる相似の定義だからじゃなんんですか?

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2つの角度が等しいとき


どれだけ線を伸ばしても
2つの角度は変わらないからです。
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