離散距離関数dがあるノルムから自然に定まる距離とすると、矛盾しますが、あるノルムから自然ではない定ま

離散距離関数dがあるノルムから自然に定まる距離とすると、矛盾しますが、あるノルムから自然ではない定まり方をした距離とは一致する可能性がありますか？もしそれが言えれば離散距離空間がノルム空間ということに なりますよね？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/22 16:55

Xを線形空間とする

あるノルムから自然に定まる距離から定まる位相をノルム位相Tといい
(X,T)をノルム空間というのです

あるノルムから自然ではない定まり方をした距離から定まる位相T'が
元のノルム位相と同相でない場合
(X,T')≠(X,T)
だから
(X,T')は(X,T)とは別の位相空間なので
(X,T')はノルム空間ではありません

例)

R=(全実数の集合)

通常ノルム距離
d(x,y)=|x-y|
による通常位相を T
とすると
(R,T)はノルム空間

ノルムとは関係なく定めた
離散距離
d'(x,y)=1 (x≠y)
d'(x,x)=0
による離散位相を T'

(R,T')は離散距離空間

(R,T')≠(R,T)
だから
(R,T')と(R,T)は別の位相空間なので
(R,T')はノルム空間ではありません

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/22 19:07

No.1 の補遺：

位相線型空間というときには、線型空間の和とスカラー倍が
連続であるものを指すのが通常であり、位相と線形性の間には
満たすべき要件があるのだが、離散位相の場合には
任意の写像が連続になってしまうため、離散位相が存在することは
ベクトル空間に何の前提も課さないことになる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/22 14:04

しびれをきらしてヒント出してきたねえ。

確かに、ノルムから派生する距離が離散距離になるためには
ベクトル空間の基礎体が２元体でなくてはならず、
離散距離を持つベクトル空間がどれでもノルム化可能ではなかった。
前回の私の回答は、間違い。

さて、それを踏まえて、距離とノルムの間に関連を求めなければ
離散距離空間にノルムが入るかというと...
まず、距離空間だというだけでは線型性が仮定されていないから、
離散距離空間がベクトル空間である必要がある。
離散距離は任意の集合上で定義できるから、そのベクトル空間には
特に前提条件は無いことになる。
ノルムが距離と関連なくてもよいのであれば、これはつまり
任意のベクトル空間にノルムは入るか？という質問になる。

たぶん無理なんだろうけど、
反例は示せないなあ...