確率変数Xの問題の解き方を教えてください！

問題文）
確率変数が正規分布N(35,7^2)に従うとき、次の値を求めよ。

問１) Pr(X≤24.5)
問２) Pr(21.0≤X≤52.5)
※答えは小数第4位まで

一応、問1は計算して 0.0668 という答えを出すことが出来たのですが、
問2が計算しても答えが合わないので、問題の値を使った計算方法を教えていただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/28 14:59

正規分布って分かりますか？

ご承知とは思いますが、「正規分布」とは、平均値をピークに、左右対称にダラ下がりの分布です。横軸を「確率変数：Z」（テストの場合には「点数」、体重の分布なら「体重」）、縦軸が「度数」（テストや体重の場合には「その範囲に入る人数」）。
　このとき、標準偏差を「σ」として、
　　Z=平均値± σ　の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
　　Z=平均値±2σ　の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
　　Z=平均値±3σ　の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る
という特性があります。
https://atarimae.biz/archives/9850

N(35, 7^2) とは「平均が35、標準偏差が7（分散が7^2 = 49）」の正規分布ということです。

「確率変数」と「確率」の関係は、「いろいろな正規分布」で使えるように、「平均が 0、標準偏差が １」つまり「N(0, 1^2)」になるように規格化した「標準正規分布」に対して「表」になっています。
お示しの確率も、計算してもよいですが、「標準正規分布表」から読み取る方が早いです。

標準正規分布に変換するには
　Z = (X - μ)/σ　(μ：平均、σ：標準偏差）
の変換をします。
お示しの例題の場合には
　Z = (X - 35)/7
ということになります。

1) X≦24.5 の確率ですから、X=25 をZに変換すると
　Z = (24.5 - 35)/7 = -1.5

正規分布の「左右対称性」から
　P(X≦24.5) = P(Z≦-1.5) = P(1.5≦Z)
であり、下記の標準正規分布表より Z=1.5 のところを読み取って
　P(1.5≦Z) = 0.066807

標準正規分布表（「以上」の確率が載っているタイプ）
↓
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html


2) 同様に、X=21.0 に対しては
　Z = (21.0 - 35)/7 = -2.0
X=52.5 に対しては
　Z = (52.5 - 35)/7 = 2.5
なので、
　P(21.0≦X≦52.5) = P(-2.0≦Z≦2.5) = P(0≦Z≦2.0) + P(0≦Z≦2.5)

これは、上記の「以上」の確率が載っているタイプを使うと
　P(0≦Z≦2.0) + P(0≦Z≦2.5)
= 0.5 - P(2.0≦Z) + 0.5 - P(2.5≦Z)
= 1 - P(2.0≦Z) - P(2.5≦Z)

上の標準正規分布表から
　P(2.0≦Z) = 0.02275
　P(2.5≦Z) = 0.00621
なので
　 1 - P(2.0≦Z) - P(2.5≦Z) = 1 - 0.02896 = 0.97104

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
21と52.5で求めた値を0.5で引いていなかったので答えが合わなかったことが分かりました。
自分でも問題を解いて理解を深めていきたいと思います!

お礼日時：2021/05/29 00:05