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(√a+√b)^2=(√a)^2+2√a•√b+(√b)^2は、aとbが0より大きい場合に成り立つようですが、その理由を教えてください

質問者からの補足コメント

  • >a,bが負の場合も成り立つけれども
    √a√b≠√(ab)
    だから
    負の場合を除いているのです

    この部分はどういう意味でしょうか?

    No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/06/01 19:40

A 回答 (8件)

(√a+√b)^2=(√a)^2+2(√a)(√b)+(√b)^2



常に成り立つけれども

(√a)^2≠√(a^2)
√a√b≠√(ab)
(√b)^2≠√b^2
だから

(√a+√b)^2≠√(a^2)+2√(ab)+√(b^2)

という意味です
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例えば


i=√-1

場合

√-1√-1=i^2=-1

√{(-1)(-1)}=√{(-1)^2}=√1=1

だから

√-1√-1=-1≠1=√{(-1)(-1)}

だから

√a√b≠√(ab)

だから
指数法則が成り立たないのです
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(x+y)^2=x^2+2xy+y^2



x,yが何であろうと
(成り立つ理由は分配法則から)
常に成り立ちます

だから

x=√a
y=√b

とした時も

(√a+√b)^2=(√a)^2+2(√a)(√b)+(√b)^2

常に成り立ちます

a,bが負の場合も成り立つけれども
√a√b≠√(ab)
だから
負の場合を除いているのです
この回答への補足あり
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i=√-1


i=√-1
とすると

(√-1+√-1)^2
=(i+i)^2
=(2i)^2
=-4

(√-1)^2+2(√-1)(√-1)+(√-1)^2
=i^2+2i^2+i^2
=-1-2-1
=-4
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a や b が負数だと、正数の場合と違って


√a と -√a のどちらがどちらなのかを特定する方法が無いからです。
虚数 √a が登場する式は、各辺に現れる √a をいちいち適切なほう
のひとつとして解釈すれば成り立ちます。√a が片方に特定できる
という仮定の下での式変形は無意味になります。
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命題:(√a+√b)^2=(√a)^2+2√a•√b+(√b)^2は、aとbが0より大きい場合に成り立つ


対偶を考えます。
aとbが0未満の場合、(√a+√b)^2=(√a)^2+2√a•√b+(√b)^2は成り立たない。
(√a+√b)^2=(ai+bi)^2=-(a)^2-2a•b-(b)^2=-(a+b)^2と成り立たない
よって、命題は正しい。
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x=√a


y=√b
とすると

(√a+√b)^2
=(x+y)^2
=(x+y)(x+y)
=x(x+y)+y(x+y)
=x^2+xy+yx+y^2
=x^2+2xy+y^2
=(√a)^2+2(√a)(√b)+(√b)^2
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これは間違っていますね。


正確には 0 以上の場合であって、0 より大きい場合では、ありません。

貴方まだ虚数について勉強していないでしょ?
0 未満の平方根を勉強していないでしょ?
虚数を勉強したら、0 未満の場合にどうなるか計算できるようになります。
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