ダランベールの判定条件では、 正項級数 Σa_n が収束するための条件として r_n=a_(n+1)

ダランベールの判定条件では、
正項級数 Σa_n が収束するための条件として
r_n=a_(n+1)/a_n (n=1, 2, 3, ・・・) とおくとき、すべての n に対して r_n≦k<1 となる正数 k が存在することとされていますが、
lim[n→∞] r_n≦k<1 を条件としてはダメでしょうか？また、さらに{r_n} が単調増加の条件を加えればどうでしょうか？

質問者からの補足コメント

• lim[n→∞] r_n≦k<1 では、すべての n に対して r_n≦k<1 となる正数 k が存在するとは限らないので、ダランベールの条件を満たさないと考えました。
  それで、さらに{r_n} が単調増加の条件を加えればどうかを尋ねました。

    補足日時：2021/06/03 14:58

• つまり、r_n が1 より小さな値 α に収束するならば、一定の n より先では r_n がαの近傍に収まるので、ダランベールの収束条件を満たすと言うことですね。理解しました。
  もう一つ質問ですが、一般には認められていないこの事柄を収束判定条件として使用することは可能ですか?

    補足日時：2021/06/03 20:18

• 内田虎雄の「級数論」からダランベールの判定法を引用していました。ダランベールが著した当時のスタイルがこの様だったのでしょうね。

    補足日時：2021/06/04 08:41

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/04 06:11

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9 …
に
書いてあるように
ダランベールの収束判定法は

lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|<1
であれば,
級数
Σ_{n=1～∞}a(n)
は
絶対収束する
とされているのです

だから

lim[n→∞] r_n<1

の方が
ダランベールの判定条件
として
一般に認められているのです

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2021/06/03 22:08

返事が遅れたけど

ぼくの考えもNo2さんに全く同じ。
というかこれが一般的な考え。
だからlim[n→∞] r_n≦k<1 を条件として当然よい。

この回答へのお礼

お答え頂きありがとうございました。

お礼日時：2021/06/04 13:14

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/03 19:23

lim[n→∞] r_n=s≦k<1

k'=(1+k)/2
とすると
lim[n→∞] r_n=s≦k<k'<1

ε=k'-s>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|r_n-s|<ε=k'-s
r_n-s<k'-s

r_n<k'

n>n_0となるすべてのnに対して

r_n<k'<1

となる正数k'が存在するから

Σ_{n=n_0+1～∞}a_n
が
収束するから

Σ_{n=1～∞}a_n=Σ_{n=1～n_0}a_n+Σ_{n=n_0+1～∞}a_n
も
収束するから

lim[n→∞] r_n≦k<1
の
条件だけで十分で
{r_n}が単調増加の条件は不要です

この回答へのお礼

お答え頂きありがとうございました。

お礼日時：2021/06/04 13:14

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2021/06/03 14:40

lim[n→∞] r_n≦k<1 はいいけど

{r_n} が単調増加の条件だけではだめ。
ゆうめいなa_n＝1/ｎを考えたらわかる。