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No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
2a≧b^2 より
a≧0
√2a≧b (b≧0 のとき)
√2a≧-b (b<0 のとき)
b≧0 のときの証明ができればb<0 のときの証明は容易なので、以降、b≧0とする。
相加平均と相乗平均の関係より
a+b^2≧2b√a (∵a≧0, b≧0)(等号成立は a=b^2 のとき)
2a+2b^2≧4b√a
4a+b^2-4b√a≧2a-b^2
(2√a-b)^2≧(2a-b^2)≧0
2√a-b≧√(2a-b^2) (∵√2a≧b より 2√a≧b)(等号成立は a=b^2 のとき)
b<0 のときも同様に証明できる。但し、等号成立はなし。
証明終了
No.3
- 回答日時:
問題確認
2√a-b≧√2a-b^2
の左辺の-bは√の中に入っていますか?・・・(予想はNo)
右辺の-b^2は√の中に入っていますか?・・・(予想はYes)
No.1
- 回答日時:
a,b:realは暗黙の仮定
2a≧b^2 より a>=0
2√a-b≧√2a-b^2 と 2√a+b^2≧√2a+b--(*) は同値なので
後ろを示します
(1)b>=0のとき
(2√a+b^2)^2-(√2a+b)^2
=2a+4root(a)*b^2+b^4-2root(2a)*b^2-b^2
=(2a-b^2)+(4root(a)*b^2+b^4-2root(2a)*b^2)
=(2a-b^2)+((4-2root(2))root(a)*b^2+b^4
>=0
統合条件は2a=b^2___and_b=0_ie_a=b=0
(2)b<0のとき
(*)の左辺-右辺=(2-root(2))root(a)+b^2-b>0
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