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A 回答 (5件)
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No.4
- 回答日時:
>なぜ1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m,
>nを用いて√5=m/nと表すのでしょうか?
有理数の定義だから、というのも有りますが、大事な点は「何故」ではなく、それが「可能である」ということ。公約数で両者を割って行けば必ず行き着く先はそうなる
という事実です。これは間違いない真理です。
ところが√5を有理数とするとこれが成り立ちません。
√5の分母と分子は必ず公約数5を必ず持ちます。
約分しても無駄なあがきなんです。√5を整数比で表せると
すれば必ずそうなるからです。
そんな数あるはず有りませんから、仮定が
間違っているのです。
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No.3
- 回答日時:
公約数が有る/無いで揉める必要は有りません。
有っても、なくても「素因数分解の一意性」定理で、スパっと証明出来る。
√5=a/bと書けたと仮定する(a,bに公約数が有っても構わない)
両辺を2乗すると5=a²/b²
∴a²=5b²
この形より、素因数5は左辺には偶数個、右辺には奇数個。
それが=で結ばれることは無い。
∴√5=a/bとは書けない
No.2
- 回答日時:
1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m, nを用いて√5=m/nと表すのでしょうかって、そうしないと√5=m/nと置けないし、有理数と置けないからです。
約分済みの自然数の分数m/nとでも書けばよいのでしょうか。そのような文章を先生は格好悪いので書きません。但し(n≠0)そうすれば
√5ーm/n=0で両辺を2乗すれば
5+(m/n)²-2√5m/n=0
√5=(5+(m/n)²)*n/2mで√5は有理数になって、命題と矛盾するので√5は無理数であることが証明されます。
No.1
- 回答日時:
模範解答の続きを読んでみましょう。
結論にmとnが1以外の正の公約数を持たない事に矛盾するから、仮定「1以外の正の公約数を持たない2つの自然数m, nを用いて、√5=m/nと表される」が間違っていたと言え、√5は無理数という事ができる。このようになっていると思います。
模範解答の要領で証明を進めると、「m,nは1以外の正の公約数を持たない」としても「m,nは1以外の正の公約数を持つ」としても、終盤でmとnは共に5の倍数である・・・①。と言うところまでは一緒です。
でも仮に(仮にですよ!!!)
1以外の正の公約数を持たない2つの自然数3, 7を用いて、√5=7/3と表せるとします。
このとき√5=35/15でもあるので、1以外にも公約数を持つ2つの自然数m=35とn=15を用いた場合、①より先に進めることができますか?m=35もn=15も5の倍数に設定してしまったので、公約数が5となり矛盾点を見つけることが難しい。
そこで矛盾点をつきやすい、1以外の正の公約数を持たない2つの自然数N(=3), M(=7)を用いるわけです。
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