教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

数学の不等式の証明問題の解き方の方針などを教えてください。

⑴ a+b+c=1のとき、3(a^2 + b^2 + c^2)≧1を証明しなさい。

⑵ a>0のとき、3(a+1)≧2√(2a^2 + 5a + 2)を証明しなさい。

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    証明の最後に//や(証明終)を書いた方がいいですか?

      補足日時:2021/03/20 15:06
gooドクター

A 回答 (4件)

なんで質問と無関係な質問をするの?



最近意味不明な質問や回答が多すぎる。

・脈絡もなく、特定の回答者だけに返信する。
・何時間もたって、日をまたいでほぼ同じ回答をする。

何を考えている? 恥ずかしくないのだろうか?
    • good
    • 0

a+b+c=1


両辺を二乗する。
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1
a^2+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ca
これを問題の左辺に代入すると、
問題の左辺=3(a^2+b^2+c^2)
=2(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)
=(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)+(1-2ab-2bc-2ca)
=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)+1
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+1
(a-b)^2≧0、(b-c)^2≧0、(c-a)^2≧0より、
問題の左辺≧1
等号成立は a=b=c=1/3の時

(2)
【ヒント】 A>0 かつ B>0 で A^2>B^2 であるならば、A>Bである。
【ヒントの証明】 A^2-B^2=(A+B)(A-B)
A>0 かつ B>0 なので、A+B>0 だから、
A^2-B^2>0 ならば A-B>0となる。
つまり、A>Bであることが証明された。

参考:等号成立はa=1のとき
    • good
    • 0

訂正


(1) は
→ 3(a²+b²+c²)≧(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca)
でした。
    • good
    • 0

(1)


(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≧0 → 2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)≧0
→ 3(a²+b²+c²)≧(a²+b²+c²)-2(ab-bc-ca)
→ 3(a²+b²+c²)≧(a+b+c)²=1

(2)
(a-1)²≧0 → 9(a²+2a+1)≧4(2a²+5a+2)
→ 9(a+1)²≧4(2a²+5a+2)
ここで、a>0 だから、2a²+5a+2>0 なので

→ {3(a+1)-2√(2a²+5a+2)}{3(a+1)+2√(2a²+5a+2)}≧0
さらに、a>0 だから、{3(a+1)+2√(2a²+5a+2)}>0
なので、
{3(a+1)-2√(2a²+5a+2)}≧0

3(a+1)≧2√(2a²+5a+2)


ちなみに、(1)は与式の右辺の1を (a+b+c)² として変形し、
(2)は両辺を二乗して変形して当たりをつける。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング