不等式の証明問題

数学の不等式の証明問題の解き方の方針などを教えてください。

⑴　a+b+c=1のとき、3(a^2 + b^2 + c^2)≧1を証明しなさい。

⑵　a>0のとき、3(a+1)≧2√(2a^2 + 5a + 2)を証明しなさい。

質問者からの補足コメント

• 

  証明の最後に//や（証明終）を書いた方がいいですか？

    補足日時：2021/03/20 15:06

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/21 16:09

なんで質問と無関係な質問をするの?

最近意味不明な質問や回答が多すぎる。

・脈絡もなく、特定の回答者だけに返信する。
・何時間もたって、日をまたいでほぼ同じ回答をする。

何を考えている?　恥ずかしくないのだろうか?

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2021/03/19 23:46

a＋b＋c＝1

両辺を二乗する。
(a+b+c)^2＝a^2＋b^2＋c^2＋2ab＋2bc＋2ca＝1
a^2＋b^2＋c^2＝1－2ab－2bc－2ca
これを問題の左辺に代入すると、
問題の左辺＝3(a^2＋b^2＋c^2)
＝2(a^2＋b^2＋c^2)＋(a^2＋b^2＋c^2)
＝(a^2＋b^2＋b^2＋c^2＋c^2＋a^2)＋(1－2ab－2bc－2ca)
＝(a^2－2ab＋b^2)＋(b^2－2bc＋c^2)＋(c^2－2ca＋a^2)＋1
＝(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2＋1
(a－b)^2≧0、(b－c)^2≧0、(c－a)^2≧0より、
問題の左辺≧1
等号成立は a＝b＝c＝1/3の時

(2)
【ヒント】　A＞0 かつ B＞0 で A^2＞B^2 であるならば、A＞Bである。
【ヒントの証明】　A^2－B^2＝(A＋B)(A－B)
A＞0 かつ B＞0 なので、A＋B＞0 だから、
A^2－B^2＞0 ならば A－B＞0となる。
つまり、A＞Bであることが証明された。

参考：等号成立はa＝1のとき

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/19 20:10

訂正

(1) は
→ 3(a²+b²+c²)≧(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca)
でした。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/19 20:04

(1)

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≧0 → 2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)≧0
→ 3(a²+b²+c²)≧(a²+b²+c²)-2(ab-bc-ca)
→ 3(a²+b²+c²)≧(a+b+c)²=1

(2)
(a-1)²≧0 → 9(a²+2a+1)≧4(2a²+5a+2)
→ 9(a+1)²≧4(2a²+5a+2)
ここで、a>0 だから、2a²+5a+2>0 なので

→ {3(a+1)-2√(2a²+5a+2)}{3(a+1)+2√(2a²+5a+2)}≧0
さらに、a>0 だから、{3(a+1)+2√(2a²+5a+2)}>0
なので、
{3(a+1)-2√(2a²+5a+2)}≧0
→
3(a+1)≧2√(2a²+5a+2)


ちなみに、(1)は与式の右辺の１を (a+b+c)² として変形し、
(2)は両辺を二乗して変形して当たりをつける。