(A-B)-C=(A-C)-(B-C)を証明まであと一歩

A,B,Cがセットであったとして
(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
を証明したいんです。

(ちなみに∈/は∈の上から/の線が入った記号です;元として含まれない、と読むのでしょうか…)

(A-B)-C
≡(X∈(A-B))∧(X∈/C)
≡(X∈A∧X∈/B)∧(X∈/C)
≡(X∈A∧X∈/C)∧(X∈/B∧X∈/C)
≡(A-C)-(B-C)

最後の一行がジャンプしてますよね、きっと。
(X∈A∧X∈/C)はdifferenceの定義で直接(A-C)と出来ます。
(X∈/B∧X∈/C)はX∈/Bが邪魔してこのままでは出来ません。
もしかして、このX∈/Bの/を前にもってきて￢(X∈B∧X∈/C)としてもいいんですか?
あと一歩です、お助けください。

No.5 ベストアンサー 回答者： jmh 回答日時： 2004/02/09 04:50

（Ａ－Ｃ）－（Ｂ－Ｃ）

≡［ｘ∈（Ａ－Ｃ）］∧［￢ｘ∈（Ｂ－Ｃ）］
≡［（ｘ∈Ａ）∧（￢ｘ∈Ｃ）］∧［￢｛ｘ∈Ｂ∧（￢ｘ∈Ｃ）｝］
≡［（ｘ∈Ａ）∧（￢ｘ∈Ｃ）］∧［（￢ｘ∈Ｂ）∨（ｘ∈Ｃ）］
≡［｛（ｘ∈Ａ）∧（￢ｘ∈Ｃ）｝∧（￢ｘ∈Ｂ）］∨［｛（ｘ∈Ａ）∧（￢ｘ∈Ｃ）｝∧（ｘ∈Ｃ）］
≡［（ｘ∈Ａ）∧（￢ｘ∈Ｃ）∧（￢ｘ∈Ｂ）］∨［ｘ∈φ］
≡（ｘ∈Ａ）∧（￢ｘ∈Ｃ）∧（￢ｘ∈Ｂ）
≡｛（ｘ∈Ａ）∧（￢ｘ∈Ｂ）｝∧（￢ｘ∈Ｃ）

この回答へのお礼

ようやく理解しました。
私は(A-C)-(B-C)側から導かないといけなかったのでしょうか?
(A-C)-B側から導いて6行目の"∨［ｘ∈φ］"の部分を思いつくのは
至難の業のように思えます。
ありがとうございました!

お礼日時：2004/02/14 11:10

No.4 回答者： thetas 回答日時： 2004/01/23 05:25

> ￢(X∈B∧X∈/C)も(X∈/B∪X∈C)も下から２行目の式にありません。

￢(X∈B∧X∈/C)を導きたいと思われますので、それと同値である式を書いたまでです。
ただ、この(X∈/B∪X∈C)を目標にすればいいのでは、と思い「ヒント」のつもりで書かせていただきました。

なお、この証明すべき式では
B-C≡￢(X∈B∧X∈/C)
を使うはずなので、
￢(X∈B∧X∈/C)を導くことは、解くきっかけになると思っています。

この回答へのお礼

確かにB-C≡￢(X∈B∧X∈/C)が最後の一歩です。
ですので質問の中にもそのように書きました。
仰ることは理解できたのですが、実際の私の解答とはどうしても結びつきませんでした。
そして、今になって私の示した解答が間違いであることが分かりました。
混乱させて申し訳ございませんでした。
ありがとうございました!

お礼日時：2004/02/14 11:48

No.3 回答者： graphaffine 回答日時： 2004/01/22 12:38

ginkgoさん、こんにちは。

質問の趣旨とは外れるかも知れませんが
756214をみて気になったので回答します。
形式に拘って意味の理解をおろそかにしていませんか。
（気に障ったらごめんなさい)

件の問題は、私なら次のように答えます。
（Ａ－Ｂ）－Ｃと（Ａ－Ｃ）－Ｂは同じである。
Ａ－Ｃからは既にＣの要素が除かれているので、
それからＢを引いてもＢ－Ｃを引いても結果は同じである。∴（Ａ－Ｂ）－Ｃ＝（Ａ－Ｃ）－（Ｂ－Ｃ）

この回答へのお礼

おっしゃるとおり、形式に拘って意味の理解をおろそかにしていました。
忙しかったのでついA∩CをA∪Cだという単純な勘違いを犯してしまいました。
では、その解法を。

# 1st try #
A={1,3}, C={1,2,3}
A∩C={1,3}
B={1}
A∪C=B∪C
{1,2,3}={1,2,3}

# 2nd try #
A={1,2}, C={1,2,3}
A∩C={1,2}
B={1}
A∪C=B∪C
{1,2,3}={1,2,3}

# 3rd try #
A={1,3,5}, C={1,2,3}
A∩C={1,3}
B={1}
A∪C=B∪C
{1,2,3,5}=/{1,2,3} (!)

任意の値を入力したのですが、
3rd tryのようにAの値を他と違わせる必要があったのですね。
私の勘違いゆえにranxさんにポイントを差し上げることが出来ませんでした。
これをご覧の方はどうかQNo.756214のranxさんの「参考になった」を押してあげて下さい。m(__)m

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=756214

さて、今回の件です。

>（Ａ－Ｂ）－Ｃと（Ａ－Ｃ）－Ｂは同じである。

図を描いてみると確かにそうですね。
ただ「Ａ－Ｃからは既にＣの要素が除かれているので、
それからＢを引いてもＢ－Ｃを引いても結果は同じである。」を
元の問題に結びつけて考えるのが私には難しく思えます。
こういう解き方もあるというのも覚えておきます。
ありがとうございました!

お礼日時：2004/02/14 11:43

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2004/01/21 16:45

３行目の続きを書きます。

≡(X∈A∧X∈/B)∧(X∈/C)
≡{(X∈A∧X∈/B)∧(X∈/C)}∨ (X∈φ)
≡{(X∈A∧X∈/B)∧(X∈/C)}∨{(X∈/C)∧(X∈C)∧(X∈A)}
≡{(X∈A∧(X∈/C)}∧{(X∈/B)∨(X∈C)}
≡{(X∈A∧(X∈/C)}∧{￢[(X∈B)∧(X∈/C)]}
≡{(X∈A∧(X∈/C)}∧{￢[X∈(B-C)]}
≡{(X∈A∧(X∈/C)}∧{X∈/(B-C)]}

途中は、こんなところかな？

この回答へのお礼

この回答は暗に私の示した解答が間違っている、というご指摘されているのですね。
あと一歩どころではありませんでしたね。(汗)
#5さんのお礼にも書きましたが、(X∈φ)を思いつくのが難しいですね。

実はここで質問した後で教授にどうやって解くのか聞きに行ったのですが、
「真理値表を使いなさい」ということでした。
あら、簡単じゃないですか。(笑)
その後の授業で式を用いた解法も見せて下さいました。
ちゃんと一致していました。
ありがとうございました!

お礼日時：2004/02/14 11:41

No.1 回答者： thetas 回答日時： 2004/01/20 18:36

とりあえずヒントだけ、

￢(X∈B∧X∈/C)
≡(X∈/B∪X∈C)
となりますので、
下から２行目の変形をかえればよいと思います。

ちなみに、私は右辺からの変形の方がしやすかったですので、それらで試されてもいいかもしれません。

この回答へのお礼

すみません、まだ理解できていません。
￢(X∈B∧X∈/C)も(X∈/B∪X∈C)も下から２行目の式にありません。
質問にも書いたとおり、
(X∈/B∪X∈/C)を￢(X∈B∧X∈/C)にする方法が知りたいのです。
ご存知であれば教えて下さい。
ありがとうございました。

お礼日時：2004/01/20 22:54