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No.4
- 回答日時:
NO1の方の通りですが、少し考え方のヒントを。
式が0以上である事を証明するには、次のような性質を利用します。
(実数)^2≧0…(2乗すると0以上)
(0以上)+(0以上)≧0
そこで、与式を「平方完成」してみればよい事に気付きます。あるいは(何か)^2の因数分解が出来ないかと思いながら、式をじっと見つめます。そのうち「見えてくる」でしょう。
付録 式>0 を証明するには
正+正>0
(何か)^2+正>0
大-小>0
正×正>0
を利用します(与えられた式を、上記の形に変形します)
No.2
- 回答日時:
2次式の不等式を考えるコツは、1)平方完成の形にする、2)因数分解の形にする、3)相加相乗平均を使う、4)微分を使う、などの方法がありますが、この問題のケースでは1)の平方完成で証明することができます。
左辺は次のように、平方完成の形に変形できます。
a^2-a+b^2+b+1/2
=(a-1/2)^2+(b-1/2)^2 ・・・・・☆
2乗したものは0以上であることから、左辺は2乗したものを加えたもので表されるので、必ず0以上であることがいえます。
(a-1/2)^2+(b-1/2)^2≧0
ちなみに、平方完成を作るときは、どれかひとつの文字(例えば、a)に注目して整理し、a^2の係数とaの係数を考えて次のように変形していきます。
a^2+ka=(a^2+ka+k^2/4)-k^2/4=(a+k/2)^2-k^2/4
これをaとbとに対して行えば、左辺から式☆が得られます。
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