log₄(2x-1)²=log₂(x+1)の解き方。底の変換公式を使っても解が1個しか見つかりません

log₄(2x-1)²=log₂(x+1)の解き方。底の変換公式を使っても解が1個しか見つかりません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/23 23:59

解は 1個でいいんじゃないかなぁ.

この回答へのお礼

x=2とx=0が解だったはずなのですがx=0が出てこないって感じです…。

お礼日時：2021/06/24 00:01

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/24 00:08

GNUPLOT でグラフを描かせたら GNUPLOT が「気」をきかせてくれやがった. 失礼.

真数条件から
x > -1 かつ (2x-1)^2 > 0 (つまり x ≠ 1/2)
で, この条件を満たす前提では
log[2] (x+1) = log[4] (x+1)^2
([2] や [4] は底を表す) なので結局
(2x-1)^2 = (x+1)^2.

この回答へのお礼

真数が2の方に変換公式を適用するべきだったんですね…。

お礼日時：2021/06/24 00:25

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/24 00:55

底の変換公式で log₂ に揃えてから

両辺を 2^ すると、｜2x-1｜ = x+1. 　←[1]
ただし、真数条件から x+1 > 0.
[1] は 2x-1 = ±(x+1) だから、
x = 2, 0.
どちらも真数条件を満たしている。

解が1個しか出てこなかった理由は、
左辺を変形するときに
log(2x-1)² = 2log｜2x-1｜ を間違えて
log(2x-1)² = 2log(2x-1) にしてしまったから
ではないかと空想してみる。

この回答へのお礼

底の変換公式は底が4の方に適用したのですが,おっしゃるとおりです！なぜそこは絶対値になるのですか？

お礼日時：2021/06/24 01:01

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/24 01:08

＞ なぜそこは絶対値になるのですか？

log₄(2x-1)² の真数条件は (2x-1)² > 0 すなわち 2x-1 ≠ 0 です。
指数 2 を log の前に出して log(2x-1)² = 2log(2x-1) としてしまったら、
真数条件が 2x-1 > 0 に変わってしまいます。
(2x-1)² = ｜2x-1｜² を利用して log(2x-1)² = log｜2x-1｜² = 2log｜2x-1｜
とすれば、そういう馬鹿なことが起こりません。

この回答へのお礼

ありものがたりさんありがとうございます*_ _)
確かに進数条件変わってしまいますね…x＞0とx²＞0では大きな違いです…。

立ち止まって真数条件を確認するべきでした。

お礼日時：2021/06/24 01:37

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/24 02:05

左辺の底を 2 に変えるなら

log[4] (2x-1)^2 = (1/2) log[2] (2x-1)^2 = log[2] [(2x-1)^2]^(1/2)
= log[2] √[(2x-1)^2]
だけど, 最後の真数は
√(a^2) = |a|
だから平方根を外したときに絶対値が付く.