写真の(3)の問題についてですが、どのような考え方、発想をすれば、x=log(1/t)に置き換えよう

写真の(3)の問題についてですが、どのような考え方、発想をすれば、x=log(1/t)に置き換えようという解法が思いつくのですか？

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/08 13:32

不定形極限には ∞-∞ とか ∞/∞ とか 0・∞ とか 0/0 とか

何通りかパターンがありますが、後の３つは、
例えば 0・∞ を (1/∞)・∞ と見るとかの方法で移りあいます。
∞/∞ のパターンは、直感的には
分子の ∞ と分母の ∞ のデッカさを比較していますね。
(2) では、 x がデッカイとき e^x は x より遥かにデッカイ
ことを示したわけです。

で、(3) の lim[y→+0] y log y を見てみると、
y→+0, log y→-∞ なので、上の話で行けば
lim[y→+0] y log y = lim[y→+0] (log y)/(1/y) と見れば ∞/∞ 型です。
y がチッサイときの log y と 1/y のデッカさを比較するのですが、
log が e^ の逆関数であることを考えれば
x と e^x のデッカさ比べは log y と 1/y のデッカさ比べに似ている
ことに気づきませんか？ ここに気づけば
正負を合わせるためにマイナスを付けて u = - log y と置いて
lim[y→+0] y log y = lim[y→+0] (log y)/(1/y)
　　　　　　　　= lim[u→+∞] -u/e^u
と変形できます。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/08 10:40

(2)

lim_{x→∞}(x/e^x)=0

(3)
lim_{x→+0}xlogx

x→+0のとき　logx→-∞になるから
-y=logx
とおけばy→∞になるから
-y=logx
とおくと
e^(-y)=x
1/e^y=x
だから

lim_{x→+0}xlogx
=lim_{y→∞}(1/e^y)(-y)
=lim_{y→∞}(-y/e^y)
=-lim_{y→∞}(y/e^y)
↓yをxに置き換えると
=-lim_{x→∞}(x/e^x)
↓(2)から
=0

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2023/02/07 23:10

要は（2）の結果を使いたいってことだけど。

ｘが0に近ければlogx＜0だからlogｘ＝－|logx|
またx＝ｅ^logx＝ｅ^-|logx|＝1/ｅ^|logx|だから
ｘlogｘ＝－|logx|/ｅ^|logx|
したがってｘ→＋0ならば|logx|→＋∞だから（2）の結果から
求める極限値は0になる。
ぼくならこのほうがわかりやすいけどなぁ。

No.4 回答者： ponpon55555 回答日時： 2023/02/07 22:51

(3)で(1)と(2)両方使う場合もありますが、(2)の証明で(1)を使ってるので、(2)だけでいいですね。

過去の東大かどっかで、(2)でも(3)でも(1)使うパターンがあったきがしますが、ほとんどないとおもってよいでしょう。

No.3 回答者： ponpon55555 回答日時： 2023/02/07 22:48

(2)がある意味を考えてみましょう。

大学受験において途中に(2)があるということは、ほとんどの確率で(3)で(2)を使うと覚えておきましょう。(2)でe^xとxが登場しているのでなんとかそれに変えれないかな〜と考えてみるのです。
ここまでは考えていた上で思いつかなかったのならすみません。

No.2 回答者： ponpon55555 回答日時： 2023/02/07 22:45

そう置き換えることで、logとxを、xとe^xに変えれるからですね。

そうすることで、(2)の誘導が使えますね

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/07 21:40

基本的に、ロピタルすることを考え、不定形に変換しなければ

いけません。

logx → -∞　ですから、何か分母に ∞ となるものを置かねば
ならない。あるものと言えば x ですから、これを分母に持って
いくと 1/x → ∞ となり、ロピタルできます。

ちなみに、t=1/x と置いてますが、そんな必要は無く、手間が
かかるだけ。