微分方程式の問題で、この添付した問題で下に書く過程まではかけたのですが、この先が分からず躓いてしまい

微分方程式の問題で、この添付した問題で下に書く過程まではかけたのですが、この先が分からず躓いてしまい、解けない感じです。この過程からどうやって特殊解を求めるのか教えてくれればと思います。
(解)同次方程式の特性方程式は、π*^2+2π+5=0、π=-1±2i、x={e*(-x)、e*(2x)}、y=C1*e^(-x)+C2*e^(2x)、(C1、C2=定数)
ここまでは書け、この次から特殊解を求めるまでの過程が分からず戸惑っています。
すいませんが、この続きを参考に教えてくれればと思います。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/07/05 21:02

＞(解)同次方程式の特性方程式は、π*^2+2π+5=0、π=-1±2i

そうしたら「同次方程式」の一般解は
　y = C1*e^(-x)*cos(2x) + C2*e^(-x)*sin(2x)
ですね。

あとは、非同次方程式の特殊解を1つ見つければよいです。
右辺から
　y = Acos(x) + Bsin(x)
を考えてみましょう。
　y' = -Asin(x) + Bcos(x)
　y'' = -Acos(x) - Bsin(x)
なので、これを与方程式に代入してみれば
　-Acos(x) - Bsin(x) + 2[-Asin(x) + Bcos(x)] + 5[Acos(x) + Bsin(x)] = 5sin(x)
整理して
　(4A + 2B)cos(x) + (-2A + 4B)sin(x) = 5sin(x)
これを恒等的に満たすには
　4A + 2B = 0
　-2A + 4B = 5
これを解いて
　A = -1/2, B = 1
従って、特殊解の1つは
　y = -(1/2)cos(x) + sin(x)

以上より、与非同次方程式の一般解は
　y = C1*e^(-x)*cos(2x) + C2*e^(-x)*sin(2x) - (1/2)cos(x) + sin(x)

この回答へのお礼

いつもありがとうございます。
今回は書き方に気をつけて書けました。
中々難しくて、ペンが動かない状態が多いので、いつも参考になり大変感謝しております。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/05 22:14