1=0.99999...となるって本当?

会社の同僚の話によると、1=0.99999....となるそうなんです。(私の休み前の話です)
どうして?と聞こうとしましたが、急いでいるそうで聞けず。そのまま私はお盆&有休＆出張分の移動日休暇連打で休みまくっています。LINEや電話で聞こうにも繋がっていないので出来ない。ということで聞いています。
これって本当なんでしょうか?また、本当であればなぜそうなるのですか?

No.12 回答者： Arima01 回答日時： 2021/08/24 11:35

a = 0.99999...

10a = 9.9999...

10a - a = 9.9999... - 0.99999...
9a = 9
a = 1

1 = 0.99999...
とかもありかな？

No.5と似てるけど『仮定を真とした結果、仮定が真となる』ってのは違うかな？
仮定が偽なら、仮定は真とは限らないし

No.11 回答者： windwald 回答日時： 2021/08/20 23:50

1=0.99999……が正しいことについては、

#4=#6=#7麻野なぎさんや#10ありものがたりさんの通りです。
なお、これは簡易には中学校の算数レベルでやってることではあります。
(#5のやり方は間違い。証明したいことを最初に正しいと仮定してはダメ)

1と0.99999……は異なる数値で差があると感じてしまう、
1≒0.99999……ではないかと感じてしまうのは、「0.99999……」と言う数値に勝手に「最後の9」を仮定してしまうからではないでしょうか。
「#10さんのいうように 1-0.99999……をしても、0.000…と続いたあと最後の最後で1が出てきてしまうのではないか」そんな風に感じてしまわれていませんか？

さて、0.99999……が、以下無限に9が続く循環小数を意味していますよね？
すると、9は無限に続いているのです。最後というのはいつ訪れるのでしょうか？9を10個連ねても、100個連ねても、1億個連ねても、那由多不可思議ほど連ねても絶対に"最後"は訪れることはありません。"最後"が訪れた瞬間にそれは「9が無限に続く」ではなくなってしまいます。
ですので、1-0.99999……の計算をしても、"最後"に1が出てくることはないのです。"最後"など訪れないのですから。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/20 22:36

本当です。

嘘だと思ったら、両辺の差 1 - 0.99999.... を計算してみましょう。
0.00000.... ですね？ 差が 0 なら、それらは同じ数です。

No.9 回答者： トモクンアヤチャン 回答日時： 2021/08/20 18:48

以前、会社で導入した市販の会計ソフトで、割り切れるのに.99999になってしまう現象がありました（直してもらいました）。

これはコンピュータプログラムの限界で、やむを得ない面もあるのですが、機械内部では、桁数は有限でしか保持できないからそうなってしまうのですね。
便宜的には、掛け算を先にして割り算を最後にすることで、多くの場合は解消することが多いようです。
でも本当に割り切れない0.33を初期に与えてその*3は0.99にならざるを得ません。0.33が初期値でなく、1÷3であれば、1÷3*3＝1*3÷3とし、3÷3＝1になります。

No.8 回答者： kairou 回答日時： 2021/08/20 13:33

その通りです。

他の回答にもあるように 極限の話ですが、次のように考えては。
1/9＝0.111…… 1がどこまでも続きますね。
左辺を 9倍します (1/9)x9=1 。
右辺も 9倍します 0.111……x9=0.999…… 。
つまり 1=0.999999…… 。

No.7 回答者： 麻野なぎ 回答日時： 2021/08/20 13:13

訂正です。

といいつつ、もう少し素直な証明は、上記の a(n) の極限値が 1 であることをいえば良いので、
（ε- δ論法というのがあって）任意のεについて、n > -log(ε)/log(10) ととれば、| 1 - a(n) | ≦ εととれる。
ゆえに、a(n)の極限値（言い換えれば、0.9999...）は、1 である。
ということになります。
（-log() の括弧の中が間違っていました）

No.6 回答者： 麻野なぎ 回答日時： 2021/08/20 13:04

少し追記すると、まず、0.9999... とは何を表しているのか？　というのを明確にする必要があります。

単に、0. のあとに、9 が限りなくつづいた数 というイメージではその性質を突き止めることができず、ちゃんとした議論ができないからです。
そこで、数学的には、0.9999... は、以下のような数列の極限値であると定義します。
その数列とは、

0.9, 0.99, 0.999, 0.999, ... であり、数式で表せば、第 n 項は、a(n) = 1-10^(-n) となります。
実数上であれば、この数列の極限値は存在することが言えます。（「コーシー列は収束」するという定理があるので）
実際には、その極限値が１になるわけです。

ひとつ注意して欲しいのは、0.9999... というのは、「数列の極限値」なので、言い換えればある数列が限りなく近付くその先です。
なので、数列の個々の項は極限値である１よりも小さいということになります。
これが、直感的に「等しくないんじゃないか？」と思わせる原因になります。

さて、ここで、0.9999... と 1 の間に実数 x が存在すると仮定しましょう。
この x と 1 の差は、1 - x となりますが、数式で表せば n > - log(1-x)/log(10) となるような、n について、a(n) はすべて 1 と x の間にあることが言えます。
ということで、どのように x をとっても（とれたとしたら）、 n > -log(1-x)/log(10) ととれば、a(n) は、x と 1 の間に存在するので、この x は、結局 0.9999... と 1の間にあるということは矛盾することにあります。
したがって、0.9999... と 1 の間にあるような（1でない）数を取ることはできません。
ここまでで、「0.9999... と 1の間には実数が存在しない」事が言えます。

一方で、0.9999... と 1が異なる数であれば、実数の性質として、かならず、「間の数」が存在します。
したがって、0.9999... と 1 は等しいといえます。

ちゃんとした証明はこんな流れになります。

といいつつ、もう少し素直な証明は、上記の a(n) の極限値が 1 であることをいえば良いので、
（ε- δ論法というのがあって）任意のεについて、n > -log(n)/log(10) ととれば、| 1 - a(n) | ≦ εととれる。
ゆえに、a(n)の極限値（言い換えれば、0.9999...）は、1 である。
ということになります。

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2021/08/20 12:41

1=0.99999....が正しいとすると、これを１０倍した

10=9.99999....も正しい、
10=9+1=9+0.99999....
よって、1=0.99999....となる。

No.4 回答者： 麻野なぎ 回答日時： 2021/08/20 12:11

本当です。

きちんと証明するには、極限というものの数学的な理解が必要です。
特に、0.9999...という数字が単独で存在するのではなく
0.9
0.99
0.999
0.9999
という数列の極限を略記したものが、0.999... であるという理解は必須です。

概ね、「1と0.9999...の間にはどのような数も存在しない」ということを導き、その上で、異なる実計があれば、必ず間の数が存在するという性質から、（間に何も存在しない）このふたつの数は等しいと結論します。

No.3 回答者： shu-cream 回答日時： 2021/08/20 11:44

1/3=0.333333、、、

これの両辺を三倍すると
1=0.999999、、、

となるわけです！
等式の性質を使うものでした