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次の数学の問題の解き方を教えて下さいませんか?なお,答えは66円です。

赤色,青色,黄色,金色の 4 種類のくじがある。 1 回引くときの値段,当たりが出る確率は,写真上部の表のとおりであり,それぞれの色のくじは 2 回までしか引くことができない。
このくじを, 1 回ごとにどの色のくじを引くかを選んで引いていき, 4 回以内に必ず当たりを引くようにする。このとき,「平均費用」が最小となるようにした場合の「平均費用」はいくらか。
ただし,当たりを引いた場合は,その後はくじを引かないものとする。
なお,「平均費用」は次のように計算される。 例えば, 1 回目に赤色のくじを引き,当たりを引かなかった場合に 2 回目に青色のくじを引き,2 回目も当たりを引かなかった場合に 3 回目に金色のくじを引くこととしたとき,その「平均費用」は写真下部の式の通りである。

「次の数学の問題の解き方を教えて下さいませ」の質問画像

A 回答 (2件)

赤、青、黄、金をそれぞれR,B,Y,Gと書いて、順番にくじを引く時の


平均費用をVをすると、
V(R, B, Y,G) = 4 + (9/10)V(B, Y, G)
= 4 + (9/10){10 + (4/5)V(Y,G)}
= 4 + (9/10){10 + (4/5){30 + (1/2)V(G)}}
とかになるので、再帰的に何とかなりそうな気がしていろいろと
いじくってみましたが、どうもうまくいきませんでした。

後ろの{}内から最小にしていけばいいから、V(R,G), V(B,G),
V(Y,G)ならV(Y,G)が最小なので、次は、V(R,Y,G), V(B,Y,G),
V(Y,Y,G)のなかで最小を見つけて…とか思ったものの、Yも2回
までしか引けないから、V(Y,Y,Y,G)はできないとすると、
V(B,Y,Y,G)とV(Y,B,Y,G)とV(Y,Y,B,G)でどれが最小か…とか
やっていたら面倒になりまして。

結局、総当たりで、コンピュータで計算させちゃった方が早い、
ということでやってみた結果が以下です(1+3+9+27 - 3で37通り)。
最小は、Y,Y,Y,Gの時の65円ですが、同じ色のくじは2回までしか
引けないので、B,Y,Y,Gの時の66円が最小になりました。
ご参考まで。

G for 1st
(E1)=(G) : V = 100.000000

G for 2nd
(E1, E2)=(R, G) : V = 94.000000
(E1, E2)=(B, G) : V = 90.000000
(E1, E2)=(Y, G) : V = 80.000000

G for 3rd
(E1, E2, E3) = (R, R, G) : V = 88.600000
(E1, E2, E3) = (R, B, G) : V = 85.000000
(E1, E2, E3) = (R, Y, G) : V = 76.000000
(E1, E2, E3) = (B, R, G) : V = 85.200000
(E1, E2, E3) = (B, B, G) : V = 82.000000
(E1, E2, E3) = (B, Y, G) : V = 74.000000
(E1, E2, E3) = (Y, R, G) : V = 77.000000
(E1, E2, E3) = (Y, B, G) : V = 75.000000
(E1, E2, E3) = (Y, Y, G) : V = 70.000000

G for 4th
(E1, E2, E3, E4) = (R, R, R, G) : V = 83.740000 *
(E1, E2, E3, E4) = (R, R, B, G) : V = 80.500000
(E1, E2, E3, E4) = (R, R, Y, G) : V = 72.400000
(E1, E2, E3, E4) = (R, B, R, G) : V = 80.680000
(E1, E2, E3, E4) = (R, B, B, G) : V = 77.800000
(E1, E2, E3, E4) = (R, B, Y, G) : V = 70.600000
(E1, E2, E3, E4) = (R, Y, R, G) : V = 73.300000
(E1, E2, E3, E4) = (R, Y, B, G) : V = 71.500000
(E1, E2, E3, E4) = (R, Y, Y, G) : V = 67.000000
(E1, E2, E3, E4) = (B, R, R, G) : V = 80.880000
(E1, E2, E3, E4) = (B, R, B, G) : V = 78.000000
(E1, E2, E3, E4) = (B, R, Y, G) : V = 70.800000
(E1, E2, E3, E4) = (B, B, R, G) : V = 78.160000
(E1, E2, E3, E4) = (B, B, B, G) : V = 75.600000 *
(E1, E2, E3, E4) = (B, B, Y, G) : V = 69.200000
(E1, E2, E3, E4) = (B, Y, R, G) : V = 71.600000
(E1, E2, E3, E4) = (B, Y, B, G) : V = 70.000000
(E1, E2, E3, E4) = (B, Y, Y, G) : V = 66.000000 最小
(E1, E2, E3, E4) = (Y, R, R, G) : V = 74.300000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, R, B, G) : V = 72.500000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, R, Y, G) : V = 68.000000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, B, R, G) : V = 72.600000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, B, B, G) : V = 71.000000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, B, Y, G) : V = 67.000000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, Y, R, G) : V = 68.500000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, Y, B, G) : V = 67.500000
(E1, E2, E3, E4) = (Y, Y, Y, G) : V = 65.000000 *

*は同じくじを3回引いているので不適。
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この回答へのお礼

コンピュータで全ての場合を調べて下さり,ありがとうございました。お手数お掛けしました。助かりました!

お礼日時:2021/08/24 21:48

16通りしかないから


全部計算すればよいのでは?

赤金
青金
黄金
赤青金
赤黄金
青赤金
青黄金
黄赤金
黄青金
赤青黄金
赤黄青金
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この回答へのお礼

ご回答下さいまして,ありがとうございました!

お礼日時:2021/08/24 21:48

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