位相空間の定義と直感的な説明の対応が分からない

最初に断っておきますが、以下ではリンク先(https://watanabeckeiich.hatenablog.com/entry/201 …で出てくるXのべき集合を表す記号が書き表せないのでOで代用しています。


リンク先にある位相空間の説明についてどなたか解説していただけませんか？
リンク先には位相空間について画像のように定義されていました。
列挙されている3つの条件が成り立つとき、(X,O) を位相空間というそうです。
そして、位相空間を直感的に説明すると、「ある集合の元に対して，距離（みたいなもの）を考えると集合が位相空間に変わる」そうなのですが、3つの条件が満たされるとなぜ集合Xの要素同士に尺度のような性質が備わると解釈できるのでしょうか？つまり、位相空間が満たすべき条件と直感的な説明の対応関係が分かりません。

私の3つの条件に対する理解を書きます。
1つ目の条件はO がXのべき集合なので、Xと空集合をそれぞれ含むのは理解できます。
2つ目の条件では、Oに含まれる集合O1, O2の和集合を取ったものもOに含まれる、と理解しました。
3つ目の条件は、恐らくXのべき集合Oの全ての要素である集合の和集合もまたXのべき集合Oに含まれる、と理解しました。

この3つの条件が満たされると、なぜ集合Xに距離のようなものが備わるのでしょうか？
もし宜しければ、どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• リンクが切れていました。そしてなぜかリンクを貼ると途中で消えてしまいます。申し訳ありませんが、添付の画像を参照してください。

    補足日時：2021/08/25 00:56

• ご回答ありがとうございます。
  リンクの貼り方まで教えてくださり、ありがとうございます。
  また、近傍系とネットによる定義まで紹介してくださり、勉強になりました。理解が進みました。
  
  申し訳ありませんが、開集合系での定義についてもう少し教えてください。
  集合Xに対して、OをXのべき集合としたとき、(X,O)が位相空間であるためには画像の3つの条件が成立することが必要とありますが、(X, O)で3つの条件が成り立たない場合はあるのでしょうか？
  OがXのべき集合なので、常に3つの条件は成り立ちそうな気がするのですが。
  
  例えばX={a, b}を考えます。この場合Oは空集合, {a}, {b}, {a, b}になりますが、3つの条件を満たします。この例の(X, O)も位相空間と呼んで良いのでしょうか？
  ※文字数がオーバーしてしまったので、補足を2回に分けて書きます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/08/26 06:38

• rinkun さんへの補足の続きになります。
  まとめますと、2点質問があります。
  ①私が挙げたX={a, b}に対する(X, O)は位相空間に該当するのでしょうか？
  ➁OがXのべき集合なので、(X, O)は常に画像の3つの条件を満たす気がするのですが、この認識は合っていますか？
  以上になります。追加の補足説明をお願いします。

    補足日時：2021/08/26 06:40

No.2 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2021/08/26 08:31

なんか用語法に少し問題があるようなので初めに指摘しておきます。

まず『べき集合』ですが、Xのべき集合は、Xの"全ての"部分集合からなる集合で、普通P(X)などのように書きます。
そして開集合系OはXの部分集合の集合ではありますが、一般にXの"全ての"部分集合からなる集合ではありません。もちろんべき集合は開集合系の条件を満たしますので、P(X)は位相を構成しますが、そうでない位相も存在します。なおP(X)による位相は離散位相と言います。

回答:
① X={a,b} に限らずP(X)は常に離散位相を構成します。
② 一般に位相で与えられる開集合系Oはべき集合とは限りません。
例えば実数の開区間から生成される通常位相は閉区間を含まないのでべき集合ではありません。
なお『生成される位相』というのは与えられた集合をすべて含み、位相(開集合系)の条件を満たすような最小の位相のことです。ここでの最小というのは集合の包含関係で考えます。

この回答へのお礼

開集合系OはXのべき集合の部分集合なのですね。納得しました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/28 12:59

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/26 13:52

これ↓に、種々の方法で定義した位相空間の相互関係が簡明に書いてある。

https://www.chikumashobo.co.jp/product/978448008 …

高校数学で位相の根本に置いていた収束の概念は、他の定義のしかたとは
ちょっと毛色が違っていて、形式的に書こうとすると、実は一番難しい。
開集合系が直感に合わないと思うより、むしろ直感が開集合系に合っていない
と考えて、気持ちを切り替えて開集合系のほうに寄せてったほうが建設的かと。
そのほうが、話が圧倒的に簡単になるから。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。勧めてくださった本も確認してみたいと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/28 13:01

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2021/08/25 09:02

リンクは下記ですね。

サイトの仕様でURLなんかはリンクに置き換え表示は省略形になります。質問のリンクは壊れていますが、これはURLの後の")"までリンクに含めてしまったためです。URLの後にスペースなどを入れて終わりが分かるようにしておくとリンクの異常は起きにくいです。

よくわかる集合と位相。
https://watanabeckeiich.hatenablog.com/entry/201 …

それで位相の話です。現代の位相は質問に書かれているような開集合系で定義されることが多いですが、他に、近傍系、ネット、などでも同値な位相の定義が出来ます。
そして開集合系による定義は直感的には距離空間との対応がもっとも分かりにくいものでしょう。

一応感覚的に言うと、同じ開集合に属する点は近く、集合の包含関係でより小さい開集合に同時に属する点はより近いという感じです。

近傍系は点ごとに、その点が属する開集合をまとめた感じ。
ネットは点列をそのまま拡張したものです。点列は自然数Nを添字とする点集合、言い換えるとN→Xの関数ですが、ネットではこのNが任意に集合になります。点列の代わりにネットの収束を考えることで、可算公理が成り立たない位相空間でも収束の議論ができるようになります。

ネットによる位相空間論
https://math.jp/wiki/%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88 …