幾何学の問題

幾何学の問題で、解き方(途中式もお願いします。)を知りたいです。

m×n行列aに対して、線形写像Ta(x):R^n→R^mをTa(x):=axで定める。

|0 1 1 1 3|
a=|-1 -2 -5 -1 -4|
|1 1 4 0 1|
|1 -1 2 -2 -5|

とする。

(1)aを簡約化せよ。(行基本変形により、簡約行列に変形する。)

(2)Im Taの基底と次元を求めよ。

(3)Ker Taの基底と次元を求めよ。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/15 21:02

(1)

a
=
(0.,1.,1.,1.,3.)
(-1,-2,-5,-1,-4)
(1.,1.,4.,0.,1.)
(1.,-1,2.,-2,-5)
第1行と第3行を入れ替えると
(1.,1.,4.,0.,1.)
(-1,-2,-5,-1,-4)
(0.,1.,1.,1.,3.)
(1.,-1,2.,-2,-5)
第2行に第1行を加えると
(1,1.,4.,0.,1.)
(0,-1,-1,-1,-3)
(0,1.,1.,1.,3.)
(1,-1,2.,-2,-5)
第4行から第1行を引くと
(1,1.,4.,0.,1.)
(0,-1,-1,-1,-3)
(0,1.,1.,1.,3.)
(0,-2,-2,-2,-6)
第2行と第3行を入れ替えると
(1,1.,4.,0.,1.)
(0,1.,1.,1.,3.)
(0,-1,-1,-1,-3)
(0,-2,-2,-2,-6)
第3行に第2行を加えると
(1,1.,4.,0.,1.)
(0,1.,1.,1.,3.)
(0,0.,0.,0.,0.)
(0,-2,-2,-2,-6)
第4行に第2行*2を加えると
(1,1,4,0,1)
(0,1,1,1,3)
(0,0,0,0,0)
(0,0,0,0,0)
第1行から第2行を引くと
(1,0,3,-1,-2)
(0,1,1,1.,3.)
(0,0,0,0.,0.)
(0,0,0,0.,0.)

(2)
aの
第3列(1;-5;4;2)=3*第1列(0;-1;1;1)+第2列(1;-2;1;-1)
第4列(1;-1;0;-2)=第2列(1;-2;1;-1)-第1列(0;-1;1;1)
第5列(3;-4;1;-5)=3*第2列(1;-2;1;-1)-2*第1列(0;-1;1;1)
だから

Im(Ta)の基底は{第1列,第2列}=
{(0;-1;1;1),(1;-2;1;-1)}
次元は2

(3)
x=(x1;x2;x3;x4;x5)∈Ker(Ta)とすると
(1)から
Ta(x)
=
(1,0,3,-1,-2)(x1)=(0)
(0,1,1,1.,3.)(x2).(0)
(0,0,0,0.,0.)(x3).(0)
(0,0,0,0.,0.)(x4).(0)
.............(x5).(0)

x1+3x3-x4-2x5=0…①
x2+x3+x4+3x5=0…②
①+②から
x1+x2+4x3+x5=0
↓両辺に-x1-x2-4x3を加えると
x5=-x1-x2-4x3…③
↓両辺に2をかけると
2x5=-2x1-2x2-8x3
↓これを①に加えると
x1+3x3-x4=-2x1-2x2-8x3
↓両辺に2x1+2x2+8x3を加えると
3x1+2x2+11x3=x4

↓これと③から

(x1,x2,x3,x4,x5)
=(x1,x2,x3,3x1+2x2+11x3,-x1-x2-4x3)
=
(x1,0,0,3x1,-x1)+(0,x2,0,2x2,-x2)+(0,0,x3,11x3,-4x3)
=
x1(1,0,0,3,-1)+x2(0,1,0,2,-1)+x3(0,0,1,11,-4)

Ker(Ta)の基底は
{(1,0,0,3,-1),(0,1,0,2,-1),(0,0,1,11,-4)}
次元は3