A⊂U∪VかつA∩U≠空集合かつA∩V≠空集合かつA∩U∩V＝空集合なる開集合U,Vが存在する なら

A⊂U∪VかつA∩U≠空集合かつA∩V≠空集合かつA∩U∩V＝空集合なる開集合U,Vが存在する
ならば
A⊂U∪VかつA∩U≠空集合かつA∩V≠空集合かつU∩V＝空集合なる開集合U,Vが存在する

これが成り立たない例はありますか？

質問者からの補足コメント

• x∈A → x∈U ∧ x∈Vが成り立つのは何故ですか？
  
  x∈A → x∈U ∨ x∈Vは成り立ちますが…

    補足日時：2021/11/21 08:47

• Xは位相空間。A⊂Xを固定する。を忘れていました．

    補足日時：2021/11/21 10:10

• おそらくこれは一般に成り立たない命題です。成り立ってしまったら一般的な連結の定義が無駄がある定義であるということになります。

    補足日時：2021/11/21 10:21

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2021/11/21 14:35

集合X={1,2,3}に対して

空集合、{2｝、{1,2}、{2,3}、{1,2,3}
を開集合とします。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/位相空間
の冒頭の図の中段右側のものです。

A={1,3}に対して
>A⊂U∪VかつA∩U≠空集合かつA∩V≠空集合かつA∩U∩V＝空集合なる開集合U,Vが存在する
を満たしている(U={1,2},V={2,3})けれども、

>A⊂U∪VかつA∩U≠空集合かつA∩V≠空集合かつU∩V＝空集合なる開集合U,Vが存在する
は満たしません(U,Vが空でないなら2∈U∩Vのため)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/21 18:21

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2021/11/21 09:32

うーん、これって形式記述すると

∀A(∃U∃V((A⊂U∪V)∧(A∩U≠∅)∧(AVU≠∅)∧(A∩U∩V=∅))
⇒∃U∃V((A⊂U∪V)∧(A∩U≠∅)∧(A∩V≠∅)∧(U∩V=∅)))
で良い? ただしU,Vは開集合。
これだと前半のU,Vと後半のU,Vは無関係なので記号を入れ替えて
∀A(∃X∃Y((A⊂X∪Y)∧(A∩X≠∅)∧(A∩Y≠∅)∧(A∩X∩Y=∅))
⇒∃U∃V((A⊂U∪V)∧(A∩U≠∅)∧(A∩V≠∅)∧(U∩V=∅)))
とした方が分かりやすいですね。ただしX,Y,U,Vは開集合。
U=A∩X, V=A∩Yとすれば成り立ちそうですね。

なお
∀A∃U∃V((A⊂U∪V)∧(A∩U≠∅)∧(AVU≠∅)∧(A∩U∩V=∅))
⇒((A⊂U∪V)∧(A∩U≠∅)∧(A∩V≠∅)∧(U∩V=∅)))
だとすると以下が反例。ただし位相は離散位相で。
A={1,2}, U={0,1},V={0,2}とするとA∩U={1}, A∩V={2}, A∩U∩V＝∅,
U∩V={0}

この回答へのお礼

“U=A∩X, V=A∩Yとすれば”とありますが、Aは固定されていて、仮定より前半の条件を満たす開集合U,Vが取れます。そして、後半の条件を満たすX,Yを具体的に構成すれば良いわけですが、U=A∩X,V=A∩Yを満たす開集合X,Yが存在するか一般には分かりません。

お礼日時：2021/11/21 10:16

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/21 09:03

失礼しました。

誤りました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/21 08:44

始めの命題の始めの２、３から A≠∅であり

　x∈A → x∈U ∧ x∈V
です。つまり
　x∈A∩U∩V ⇔ A∩U∩V≠∅
なので、始めの命題は偽。

したがって、常に上の命題は成り立つ。