数A 集合と論理 「すべての」や「ある」について

問題集の解説が理解できず困っています…

【問題】
変数ｘ、ｙの変域を自然数全体の集合Nとするとき、ヨｘ[∀ｙ（ｙ≦ｘ）]の真偽を調べよ。

【解答】
これは、「ある自然数ｘが存在して、任意の自然数ｙに対してｙ≦ｘが成り立つ」といいなおせる。
この否定命題「∀ｘ[ヨｙ（ｙ＞ｘ）]」すなわち、「どんな自然数ｘに対しても、ある自然数ｙが存在して、ｙ＞ｘとなる」について考えると、ｙ＝ｘ＋１のときｙ＞ｘが成り立つから真である。
よって、この命題は偽である。


まず、なぜ否定の真偽を考えているのですか？
否定が真ならもとの命題が偽というのもしっくりこなくて…
ある意味背理法みたいにして解いているということでしょうか？
読み返しても本当に全くわかりません…

どなたかよろしくお願いします（> <)

No.6 ベストアンサー 回答者： statecollege 回答日時： 2011/09/27 08:40

>ある命題とその命題の否定が両立しない、なんて今まではっきり言われたことなかった

・本当ですか？あなたは「矛盾」という言葉の意味と由来を知りませんか？知らなかったら、ウィキペディアの「矛盾」にアクセスしてみてください。この言葉はまさに命題（この矛はどんな盾でも突き通す）とその命題の否定（この盾はどんな矛でも突き通すことはできない）が両立しない（「矛盾」する）ことを示した言葉です。（ただし、否定命題は正確に述べると「この矛には突き通すことができない盾がある」となるが、この場合でも元の命題と否定命題が「矛盾」することには変わりはありません。）

・あなたの問題に戻って、命題「どんな自然数ｙに対してもｙ≦ｘとなる自然数ｘが存在する」に対する否定命題は「どんな自然数ｘに対しても y≦ｘとなる自然数ｙは存在しない」、すなわち、「どんな自然数ｘに対してもy＞ｘとなる自然数ｙが存在する」であることはよろしいのでしょうか？（解答にある命題のステートメントを少し書き変えました。このほうが分かりやすいでしょう！）

・あとは否定命題が真であることを示せば、元の命題が偽であることが証明されたことになる。否定命題を示すためには、解答にあるように、どんな自然数ｘが与えられても、ｙをy = x +1とすれば、こうして得られたｙはｙ＞ｘを満たすので、否定命題が真であることが示されたことになる。

・このように否定命題を考え、それが真であることを示すやり方をとるのは、元の命題が偽であることがあまりにもあきらかなので、それの否定命題をとってきてそれが真であることを証明したほうが容易だからです。「矛盾」の例に戻ってみましょう。「この矛はどんな盾でも突き通す」という命題が間違いであることを示すためには「この矛で突き通せない盾が一つでもある」ことを示せばよいのです。

この回答へのお礼

普通に言葉としての「矛盾」という使い方は理解できていたのですが、数学の問題になるとなぜかそのまま素直に考えれてなかったみたいです…（＾＾；）
というか、まずもとの命題の意味がよく理解できていなかったみたいです；

＞このように否定命題を考え、それが真であることを示すやり方をとるのは、元の命題が偽であることがあまりにもあきらかなので、それの否定命題をとってきてそれが真であることを証明したほうが容易だからです。
なるほど…！
これでもやもやしてたのが晴れました！
この問題にあたって、自分でも何が分からないのか分かっていなかったみたいで質問も舌足らずだなって思っていたのですが、知りたいことをどんぴしゃで解説していただけて本当に感謝です☆
ありがとうございました！（> <)

お礼日時：2011/09/27 11:50

No.5 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/09/25 03:10

よく見ると限定子以外は式の内容は同じと思います（等号以外）

なので本来ならx=y+1と書ければy≦xとして真といえるわけです
でも否定命題は言えて、元の命題はいえません
結局限定子の順序に意味があるということだと思います
∃x[∀y...]だと最初にxを決めるとそのxがすべてのyに対してx≧yをいわなくてはならなくてx=y+1と書けない
∀x[∃y...]だと任意のxをとってくるとそれに対してy=x+1という選択ができることになりy=x+1と書けます
なので1足すという方法を使おうとすると否定命題が真であることをいうほうが良いということではないかと

ただ[]があるのが不自然な気がして、普通は単純に並べて前から見ていくもので
限定子の取り扱いについて[]内を先にするのなら真偽は逆のような気がします
[]を付けるものは見たことがないので、ここでは問題集の内容に合わせて
[]には順序に関係がないものとした上での説明にしてます

この回答へのお礼

うーん…
でもやっぱり問題自体がよくわかんないです…；
自力で解けないですね…難しい…

お礼日時：2011/09/26 19:42

No.4 回答者： girlkeeper 回答日時： 2011/09/24 18:05

＃１です。

すみません。間違えました。「逆は必ずしも真ならず」か何かと混同しました。

お騒がせしました。

この回答へのお礼

いいえ、わざわざありがとうございました（*＾＾*）

お礼日時：2011/09/26 19:37

No.3 回答者： statecollege 回答日時： 2011/09/24 17:24

ANo.1さんは

＞前後しますが、「否定が真ならもとの命題が偽」から。

　これだけではダメでしょう。しっくりこないのは当然です。
　全ての変数（など）について述べられている命題が真なら、その否定は偽ということでしょう。

と言っておられるが本当でしょうか？ある命題とその命題の否定は両立しませんから、否定命題が真ならば、元の命題は偽となるはずです。たとえば、「ソクラテスは人間である」という命題とその否定命題「ソクラテスは人間ではない」を考えてみましょう。いま仮に「ソクラテスが人間でない」という否定命題が真である（ことが証明された）としましょう。そのとき、元の命題「ソクラテスは人間である」という命題は偽である（ことが証明された）ことになるでしょう。もちろん、逆、すなわち、否定命題が偽ならば、元の命題は真である、ことになります。背理法というのは、まさに、否定命題が偽であることを示すことによって、元の命題が真であることを証明する方法です。あなたが戸惑っておられるのは、ここでは、否定命題が真であるから、元の命題が偽であると、通常の背理法とは逆になっているからではありませんか？

この回答へのお礼

＞ある命題とその命題の否定は両立しませんから、否定命題が真ならば、元の命題は偽となるはずです。

なるほど、この部分で腑に落ちました！
普通の背理法と逆だから、とかではなく、ある命題とその命題の否定が両立しない、なんて今まではっきり言われたことなかったもので、両立しない、とか勝手に決めつけちゃっていいのかなぁ…とか思っちゃってました（＾＾；）

お礼日時：2011/09/26 19:35

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/09/24 17:20

> 変数ｘ、ｙの変域を自然数全体の集合Nとするとき、ヨｘ[∀ｙ（ｙ≦ｘ）]

最大の自然数xがあって，他のどんな自然数yよりも大きい。という命題ですね。
どう証明するのかはさておき，「偽」ですね。

No.1 回答者： girlkeeper 回答日時： 2011/09/24 16:37

前後しますが、「否定が真ならもとの命題が偽」から。

　これだけではダメでしょう。しっくりこないのは当然です。
　全ての変数（など）について述べられている命題が真なら、その否定は偽ということでしょう。

　例えば「全ての９の倍数は３の倍数である」
　この命題は真ですから、この否定「９の倍数の中には３の倍数でないものが存在する」は偽。

　本題も「どんな自然数ｘに対しても、ある自然数ｙが存在して、ｙ＞ｘとなる」
　が真であることを示してもとの命題が偽であることを言っている。

最初の疑問「なぜ否定の真偽を考えているか」
　元の命題「～～のときヨｘ[∀ｙ（ｙ≦ｘ）]」を正しく解釈すれば偽であることは明らかなので、否定を考えた意味は本問の場合はあまりないかもしれません。でも「明らかに偽」では答案にならないので否定にしてみた、くらいですかね・・・