確立統計の問題がよくわかりません。 教えていただけないでしょうか？ [問題] 定員150名のある体育

確立統計の問題がよくわかりません。
教えていただけないでしょうか？

[問題]
定員150名のある体育大学の入試に500人が応募した。入試では体育の実技と国語のテストがあり，応募者の得点分布は，実技が200点満点で平均150点、標準偏差20点、国語が100点満点で平均45点、標準偏差15点であった。実技の得点と国語の得点はそれそれ独立な正規分布とするとき、
⑴ 実技の得点と国語の得点の合計点の平均，および，標準偏差を求めよ。

⑵ 合計得点200点の受験生は，上から何番くらいの順位か。

⑶ 合否のボーダーラインは，ほぼ何点か。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/20 15:33

体育を X とすると、X は N(150, 20^2)

国語を Y とすると、Y は N(45, 15^2)

(1) 合計点の平均は、各々の平均の合計に等しので
　E[X + Y] = E[X] + E[Y] = 150 + 45 = 195
X と Y は独立なので、合計点の分散は各々の分散の合計に等しく
　V[X + Y] = V[X] + V[Y] = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625
標準偏差はその平方根なので
　σ(X + Y) = √625 = 25


(2) 上の結果から、合計点は N(195, 25^2) の正規分布に従うと考えられる。
これを「標準正規分布」に変換すると
　Z = [(X + Y) - 195]/25　　　　①

X+Y = 200 なら
　Z = (200 - 195)/25 = 1/5 = 0.2

下記の標準正規分布表より、0.2≦Z の確率は
　0.42074
なので、500人中の順位でいえば
　500 × 0.42074 = 210.37 ≒ 210
従って「だいたい上から 210番目」

↓　標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html


(3) 上記の標準正規分布表から、「上から 150番目以内の確率」つまり
　150/500 = 0.3
となる Z 値を探すと
　Z = 0.52
程度となる。

上記①式が
　Z = [(X + Y) - 195]/25 = 0.52
となる「X + Y」を求めると
　(X + Y) - 195 = 13
→　X + Y = 208
となり、これがボーダーラインとなる。