Dirac粒子のパリティ変換に関する問題です

「a^s_p, b^s_pを電子型フェルミオンの消滅演算子(添え字のｓはスピン、pは３次元運動量）、Pをパリティ変換を表すユニタリ演算子とする。このとき、
Pa^s_p P=η_a a^s_(-p), Pb^s_p P=η_b b^s_(-p)
となる。
η_a, η_bは位相である。
このとき、η_a^2, η_b^2=±1になる。」と、場の量子論の教科書に書いてありました。私は、Pを２回続けて作用させるとIになるはずだから、η_a^2, η_b^2=1だと思ってしまいました。
何故η_a^2とη_b^2が-1になることがあるのか、教えてください。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/26 17:55

こんな所でするような内容の質問には見えませんが、

> 私は、Pを２回続けて作用させるとIになるはずだから
その事を証明できますか？

もしも「座標系が元に戻るのだからIになるはず」程度の認識だとすれば、↓の証明も正しいように見えてしまうのですかね。

P'を座標系をz軸周りに180°回す操作とする。P'を2回行うと合計で360°回るので座標系は元に戻る。よって"P'^2=Iである"

この回答へのお礼

Pの４次元行列の表現がP=diag(1 , -1, -1, -1)より、P^2=Iだと思いました。

お礼日時：2021/12/26 20:00

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/26 21:11

>Pの４次元行列の表現がP=diag(1 , -1, -1, -1)より、P^2=Iだと思いました。

#1に書いた「座標系が元に戻る」を式で書いただけですよね。。。
その理屈だと#1のP'はdiag(1,-1,-1,1)なので、同じ話になってしまいませんか？それとも座標軸を360°回すと波動関数が-1倍になる例がある事を知らないのでしょうか？

この回答へのお礼

「れとも座標軸を360°回すと波動関数が-1倍になる例がある事を知らないのでしょうか？」
当然知っています。

お礼日時：2021/12/26 22:04

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/26 23:24

だったら

> Pの４次元行列の表現がP=diag(1 , -1, -1, -1)より、P^2=Iだと思いました。
これだけの理由では
> Pを２回続けて作用させるとIになるはずだから、
は結論できない事もわかるでしょう？この論理ではP'に対しては反例が出てきてしまうのだから

この回答へのお礼

この話とη_a^2, η_b^2=-1
とどういう関係があるのでしょうか？

お礼日時：2021/12/27 12:49

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/27 14:32

>Pを２回続けて作用させるとIになるはずだから、η_a^2, η_b^2=1だと思ってしまいました。

この推論が正しくないという話をしています。

-1になるという話をしたいのなら、まずは表現論の勉強して下さい。

この回答へのお礼

群と環の表現論は、大昔に学びました。
表現論を使って、-1になることを証明してください。

お礼日時：2021/12/27 17:45

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/28 13:38

昔ある先生が、「学問には目的地に辿り着くための道は沢山あるのだけど近道だけはない」 という趣旨の事を言ってたのを思い出しました。

まずは外堀を埋めようとしてるのに、それを無視して本丸までの道案内を、と言われてもね。近所のスーパーに行くのとは違うんです。
堀を埋めずに近道を通りたいのなら止めませんが、道はご自分で探して下さい。

この回答へのお礼

堀はすでに埋めてありますので。
その先をご案内ください。
道は自分で探してくださいなどいうのは、回答放棄、教えて!gooの趣旨に反しています。ご自分の態度を反省してください。

お礼日時：2021/12/28 19:17

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/30 14:12

貴方が私の話(P'の話)を無視して近道したい(すぐに-1の話をしたい)と言ったんですよ。

だから私は近道を知らないから、近道は自分で探してと言ったんです。近道を進もうとする貴方を引き止めれば良かったという事ですか？

どの道を進めば良いのかわかってなければ道中に堀がない事なんて確認できるものではないので、堀がないのを確認したと言う事は道がわかってるということですね？。なら後はその道を進むだけでしょう。そう言う段階なら私から言える事はもう何もありません。

この回答へのお礼

要するにあなたは-1になる理由がわかっていないということじゃないですか。
それなら、はじめから私の質問に答える資格なんかありませんよ。

お礼日時：2021/12/30 16:46

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/31 17:36

そうですね。

貴方に不足している知識を補わずに、今の貴方の知ってる知識だけで説明せよなんて制約があるとは流石に想像すらしてませんでしたよ。
　
何というかこんな感じ。
A「崖の上に行きたい」
B「まずあっちのヘリポートに行こう(そうすればヘリで崖の上に行ける)」
A「遠回りせずこの崖を真っ直ぐ(ロッククライミングで)登りたい」
B「ロッククライミングは知らないから、自分で頑張って」
A 「ロッククライミングの案内しろ。できないなら案内の資格ない。反省しろ」
B「」

Aが最初からロッククライミングするつもりで崖の上に行きたいと言ってのたなら、確かにBに資格はないのだろうけど、ロッククライミングなんて話を最初は聞いてないBは何を反省しどう行動するのが正解だったのですかね？後学のために是非教えて欲しいものです。

これだけではあんまりなので、無視するのだろうけと少しだけ書いておくと
> この話とη_a^2, η_b^2=-1
>とどういう関係があるのでしょうか？
先の事を話しても混乱させるだけと思って、#4のように回答しましたが、

「z軸周りの180度回転(x,y→-x,-y)とxy平面に関する反転(z→-z)の合成」は、素朴に考えれば空間反転(x,y,z→-x,-y,-z)と同じ操作に見える事でしょう。そこでPがこの操作の事だと思いましょうP'を2回続けて行うと波動関数が-1倍になる場合がある事を受け入れられるのなら、Pを2回続けて行った時も-1倍になっているはずです。η^2に対応する項が-1になる事ができる事も同じ理由で受け入れられるはずなんですよ。
こんな話のとっかかりにするのも頭にありました。

この段階では見た目は一緒でも、言ってる事は証明したい内容とは異なるはずなのでこれで終わりではありませんけどね。

この回答へのお礼

「P'を2回続けて行うと波動関数が-1倍になる場合がある事を受け入れられるのなら、Pを2回続けて行った時も-1倍になっているはずです。」含蓄に富んだお言葉ですね。しかし、これで終わりではないと私も思います。
きっちりと数学的にη_a^2, η_b^2=-1となることを示すには、表現論をどう使えばいいのでしょうか？お分かりになる範囲だけでも示唆してくださるとありがたいです。

お礼日時：2021/12/31 19:54