No.2ベストアンサー
- 回答日時:
3次方程式=f(x)とおくとx=-1代入の時
f(-1)=0となりますよね
このことから x=-1は確実にこの3次方程式の解であるといえます
そして因数定理で f(x)を因数分解したときには(x-1)が因数の一つであることもわかります!
ということで (x-1)でf(x)を割り算して因数分解実行です
次の焦点は
2重解がx=-1で 単独の解がx=αになるのか
それとも x=-1は単独の解で x=βが2重解になるのかという事です
ゆえに模範解答のように場合分けがなされます
そしてf'(x)=0の重解ですが
そもそも整数係数の3次式はグラフの概形がN字型をしています
f'(x)=0が2つの解を持つ(D>0)なら
増減表でf'(x)=0となる地点が2か所あり
その前後ではf'の表の欄がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わるといえるので
この場合は3次関数f(x)のグラフが極大と極小を持つという事が言えます
f'(x)=0が重解(D=0)だと
増減表でf'(x)=0となる地点が1か所あり
その前後ではf'の表の欄がプラスからプラスに、またはマイナスからマイナスになるといえるので 符号が変わらないことになります
いくら増減表でf'=0となってもその前後で符号が変わらなければそれは極値
にはならないので f'=0が重解の場合は極値なしです
(無論 f'(x)=0となる実数解がなければ(D<0ならば)極値なしです)
f'(x)=0の判別式から分かることは以上です
f(x)の解の個数には直接的には結び付きません!!
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