連結リー群に関する質問です。

「連結リー群とは、その変換T(\theta)が有限個の実の連続パラメータの集合、例えば\theta^aで記述され、どの元も単位元と群の内部の経路で結ばれている群をいう。この場合、群の積は、
T(\bar{\theta})T(\theta)=T(f(\bar{\theta}, \theta))
という形をとる。ここで、f^a(\bar{\theta}, \theta)は\bar{\theta}と\thetaの関数だ。\theta^a=0を単位元の座標とすると、
f^a(\theta, 0)=f^a(0, \theta)=\theta^a
であることを示せ。」
という問題の解答を外国の方にお願いしたところ、画像の解答が送られてきたのですが、さっぱり理解できません。この解答を読み解いて解説していただくか、別解を示していただけないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  T((\bar{θ})T(0)=T(F(\bar{θ}, θ) (Identity path with the group)
  With the symmetry transformation of the first order f^a(\bar{θ}, 0) being the function of the symmetry cordinates (θ, 0)
  If we take θ^a=0 as the coordinates of Identity for the 1st order transformation of Connected Lie group
  Then through extension of f^a(\bar{θ}, 0) as a finite set of a continuous group, f^a(\bar{θ}, 0)=f^a(0, θ)=θ^a

    補足日時：2022/03/08 13:25

No.3 ベストアンサー 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/03/15 01:31

>教科書にはTが単射とは書いていない

詳細は知らないが参考にしたページにはそのような解釈で導いています。

参考にしたページのp.11
https://drive.google.com/file/d/18FqJm0tshD56bZ1 …
「パラメータが T の値を一意に決めるなら,という前提にはなるけど,両辺の T のパラメータの値が同じでなければならないということでf^a(0, θ) = θ^a」

この回答へのお礼

参考資料は非常に素晴らしかったです。
これで疑問が解けました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/03/15 08:58

No.2 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/03/10 15:22

これは物理の本なので数学と違って記号の定義を明確にせず文脈で判断しないといけないタイプの本らしい。

数学より物理のカテゴリーで聞いた方がよいかもしれないが、調べた結果を示す。

（解答）
示す関係式が任意のあるaについての式なので、
(2.2.15)もaについての式にすると
T(θ'^a)T(θ^a)=T(f^a(θ',θ)) 　
ただしθのバーをθ'と表記する。
θ'^a=0とするとT(0)を単位元１としているので
T(θ^a)=T(f^a(0,θ))
になる。T が単射という前提であれば
θ^a=f^a(0,θ)
θ^a=0のときも同様にしてθ’^a=f^a(θ',0)
θやθ'は任意の値なのでまとめると
f^a(θ,0)=f^a(0,θ)=θ^a
となって示せた。

この回答へのお礼

教科書にはTが単射とは書いていないので、この解答では不十分だと思いますが。

お礼日時：2022/03/14 19:27

No.1 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/03/10 13:01

記号の定義が書かれていない。

文献名も分からない。
その文献のURL等を載せた方が良いと思う。

この回答へのお礼

問題は、ワインバーグ著「場の量子論」第１巻からです。

お礼日時：2022/03/10 13:22