数学的帰納法の問題です。全ての自然数 nについて(3^3n+1)+(7^2n-1)が11の倍数であ

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質問者：pinopa
質問日時：2021/01/06 08:56
回答数：2件

数学的帰納法の問題です。

全ての自然数 nについて(3^3n+1)+(7^2n-1)が11の倍数であることを数学的帰納法により証明せよ。

解答、解説お願いします。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： konjii
回答日時：2021/01/06 09:22

ｎ＝１の時、(3^(3n+1))+(7^(2n-1))＝８１＋７＝８８＝１１ｘ８

ｎ＝２の時、(3^(3n+1))+(7^(2n-1))＝2187＋343＝2535＝１１ｘ230
ｎ＝ｍで成り立つとして,(3^(3m+1))+(7^(2m-1))＝11xL（Lは自然数）
ｎ＝ｍ＋１の時、(3^(3m+4))+(7^(2m+1))
　　　　　　　＝(3^(3m+１))＊3^3+(7^(2m-1))*7^2
=(3^(3m+１))＊27+(7^(2m-1))*49
={(3^(3m+1))+(7^(2m-1))}*27+(7^(2m-1))*22
=11xL*27+(7^(2m-1))*11x2
=11(L*27+(7^(2m-1))x2)
n=m+1でも成り立つ。
よって、全ての自然数 nについて成り立つ。