累乗の各位の和

【問題】
(4444)^(4444) の各位の和を A 、A の各位の和を B とするとき、B の各位の和を求める。

【解答】
　　4444 ≡ 7(mod 9)
なので
　　4444^4444 = (4444^3)^1481*4444 ≡ (7^3)^1481*7
　　　　　　　= 343^1481*7 ≡ 1^1481*7 ≡ 7 (mod 9)
　　4444 < 10^4 = 10000
だから
　　4444^4444 < 10^17776
となり、4444^4444 の桁数は 17776 桁以下。よって
　　A < 17776*9 < 17776*10 < 180000
なので
　　B ≦ 5*9+1 = 46
したがって B の各位の和は 12 以下であり
　　B ≡ 7 (mod 9)
　∴B の各位の和は 7

　解答の解説をお願いします。わからない点は次の通りです。
①4444 ≡ 7(mod 9)
　この問題で、なぜ mod 9 を考えるのか？

②4444 < 10^4 = 10000 だから 4444^4444 < 10^17776
　10^17776（4444^4444 が 17776桁未満）はどこから湧き出たのか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/05 20:21

①10進法で表した数の「各位の和」と元の数では「9 で割った余り」が同じだから.

②4444 < 10^4 を 4444乗した.

この回答へのお礼

すばやい回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2021/02/05 20:33