zを複素数とする。z,z²,z³が複素平面で正３角形を作るとき、zを求む

zを複素数とする。z,z²,z³が複素平面で正３角形の各頂点をなすときのzを求む。

質問者からの補足コメント

• 

  与えられた条件を使って、論理的に証明してください。
  
  やっぱり、前問では、わかりもしないのにテキトーな
  回答者達だったんだ。
  
  まあ、質問者の質が悪いが、もう少し考えて根拠を持
  って回答してもらいたいものだ。

    補足日時：2022/03/12 19:30

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/12 20:41

z,z^2,z^3が正3角形の各頂点をなすから

|z-z^2|=|z-z^3|=|z^2-z^3|>0
|z(1-z)|=|z(1-z)(1+z)|=|z^2(1-z)|>0
↓|z(1-z)|>0で各辺を割ると
1=|1+z|=|z|…(1)

|z|=1
↓両辺を2乗すると
|z|^2=1
↓zの共役複素数をz~とすると
zz~=1

|1+z|=1
↓両辺を2乗すると
|1+z|^2=1
(1+z)(1+z~)=1
1+z+z~+|z|^2=1
↓|z|=1だから
1+z+z~+1=1
↓両辺に-1を加えると
z+z~+1=0
↓両辺にzをかけると
z^2+zz~+z=0
↓zz~=1だから
z^2+1+z=0
z^2+z+1=0
↓この2次方程式を解くと
∴
z=(-1±i√3)/2

この回答へのお礼

そうですね。

お礼日時：2022/03/12 21:12

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/12 20:02

>z=√(3)/2±(1/2)i

先頭の-が抜けてた
z=-√(3)/2±(1/2)i

歳だなあ。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/12 18:56

偏角の絶対値が120°、絶対値が1の複素数だから

z=√(3)/2±(1/2)i

この回答へのお礼

与えられた条件を使って、論理的に証明してください。

お礼日時：2022/03/12 19:30

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2022/03/12 17:06

ド・モアブルの定理

ｚ＝a+biを極形式で表したとき
ｚ＝ｒcosθ＋ｒisinθ r=√(a²+b²)
z^n=ｒcosnθ＋ｒisinnθ

ｚ＝ｒcosθ＋ｒisinθ
ｚ²＝ｒcos2θ＋ｒisin2θ
ｚ³＝ｒcos3θ＋ｒisin3θ
θ=120°＝(2/3)π、２θ＝240°＝(4/3)π、３θ＝360°=2π
でz、ｚ²、ｚ³は複素平面で正３角形の各頂点をなす
ｚ＝ｒcos(2/3)π＋ｒisin(2/3)π
これは一番簡素な例です。

この回答へのお礼

ちょっと・・・です。　もろつとスマートな証明を。

お礼日時：2022/03/12 17:16