正ｎ角形の対角線の交点の数I(n)についての予想

正ｎ角形の交点の数I(n)を調べてみると（実際書きましたｗ）
二つの予想がでました。

予想その１
ｎが奇数のときかつ４以上のとき
I(n)をｎ=4から順にもとめていくと
I(n)=奇数、奇数、偶数、偶数、奇数、奇数・・・
となることに気がつきました。
ちなみにこのときのI(n)=nC４と考えています。

予想その２　　
ｎが偶数のとき
I(n)=奇数となることに気がつきました。
ちなみにこのときのI(n)の式はまだ分かっていません。

どなたかこの二つの予想を証明or反例をあげてください。

一応参考として、
正ｎ角形の交点の数　I(n)＝１（ｎ＝４）
　　　　　　　　　　　　　　５（ｎ＝５）
　　　　　　　　　　　　　　13（ｎ＝６）
　　　　　　　　　　　　　　35（ｎ＝７）
　　　　　　　　　　　　　　49（ｎ＝８）
　　　　　　　　　　　　　　126（ｎ＝９）
　　　　　　　　　　　　　　161（ｎ＝１０）
　　　　　　　　　　　　　　330（ｎ＝１１）
　　　　　　　　　　　　　　301（ｎ＝１２）
ｎ＝７、９、１１のときはうまくかけなかったので
正確でないかもしれませんorz
(がんばってできるだけ正確に書いたつもりですが）

No.2 回答者： jo-zen 回答日時： 2008/08/14 13:49

ANo.1のjo-zenです。

補足です。

以下のURLも参考にしてみてください。


　　http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/report/di …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
中心を通る線上以外にも３本交わっている点があるだろうな
ということは予想していましたが、
中心を通る線上で４本、５本の線が交わるのは以外でした。
中心を通らない線上の交点で４本以上交わる点はあるのでしょうか？

お礼日時：2008/08/14 15:01

No.1 回答者： jo-zen 回答日時： 2008/08/14 13:38

以下のURLを参考にしてみてください。

　　http://www.geocities.jp/tomodak_grapes/volume24. …

この回答へのお礼

とても参考になりました！
ｎが素数のとき
I(ｎ）＝ｎC4であることがはっきりしたので助かりました。
予想その１は
ｎC４でｎ＝４から順にもとめていくと
奇・奇・偶・偶・・・となることを証明すればいいみたいですね。

素数

お礼日時：2008/08/14 15:10