zを複素数とする。z,z²,z³,…,zⁿが複素平面で正n角形を作るとき、zⁿ=1でしょうか？z,z

zを複素数とする。z,z²,z³,…,zⁿが複素平面で正n角形を作るとき、zⁿ=1でしょうか？z,z²,z³,…,zⁿはこの順に並んでいるとは限りません。

No.14 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/25 20:20

z,z^2,z^3,…,z^n

が複素平面で正n角形を作る時

正n角形の1辺の長さをaとする

zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると
a≦|z^(k+1)-z^2|=|z^k-z||z|=a|z|

z^nの両隣のどちらかはzではないので、
それをz^jとすると
a|z|≦|z^(j-1)-z^(n-1)||z|=|z^j-z^n|=a
↓これとa≦a|z|から
a|z|=a
∴
|z|=1

よって
原点を中心とする半径1の円に内接するから
(1/n)(z+z^2+…+z^n)=0
よって

z^n=1

この回答へのお礼

なかなか考えましたね。

お礼日時：2022/04/01 22:44

No.13 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/21 14:56

ぼくの解答もしょぼいな　とは思ったが

No.11さんのは思いつかなかった。

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/21 11:16

z,z^2,z^3,…,z^n

が複素平面で正n角形を作る時
1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^n
も正n角形を作るから
|z|≦1としてよい
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると

a≦|z^(k+1)-z^2|=|z||z^k-z|≦|z^k-z|=a
だから
a=|z||z^k-z|=|z^k-z|=a
∴
|z|=1
だから、
∴
z^n=1

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/21 05:38

z,z^2,z^3,…,z^n

が複素平面で正n角形を作る時
1/z,1/z^2,1/z^3,…,1/z^n
も正n角形を作るから
|z|≦1としてよい
|z|<1と仮定する。
正n角形の1辺の長さをaとする
zの両隣のどちらかはz^nではないので、
それをz^kとすると

|z^(k+1)-z^2|=|z||z^k-z|<|z^k-z|=a

頂点z^(k+1)と頂点z^2の距離は正n角形の1辺の長さaよりも小さくなるが
こんなことはあり得ない。したがって|z|=1であり、z^n=1である。

No.10 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/20 15:09

複素平面上の四点α、β、γ、δが同一円周上にある時

(α―γ)/(β－γ)と(α―δ)/(β－δ)の比が実数になるという命題を使う：

ｎ≧4　のとき
ｚ、ｚ^2、ｚ^3、ｚ^4　は同一円周上にあるから
α＝ｚ^2、β＝ｚ^4、γ＝ｚ^3、δ＝ｚとおいて上式に代入して
整理すると
ｚ＋1/ｚ＝実数が出てくる。つまりｚ＋1/ｚの虚数部分＝0
ｚ＋1/ｚ－(ｚ*＋1/ｚ*)＝0　ｚ*はｚの共役数
この式とｚが実数でないことから|ｚ|^2＝1、|ｚ|＝1
したがって、ｚ^2、・・・ｚ^ｎの各絶対値も1で
ｚ、ｚ^2、・・・ｚ^ｎは正多角形をなすから
ｚ＋ｚ^2＋・・・＋ｚ^ｎ＝0、となります。

ｎ＝3のとき
複素平面上の複素数α、β、γが正三角形をなすなら
α^2＋β^2＋γ^2－αβ－βγ－γα＝0　
の命題があるから
α＝ｚ、β＝ｚ^2、γ＝ｚ^3　として上式に入れれば
ｚ＾3＝1　がただちに得られます。

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/16 15:35

正n角形の中心が原点だと誤解されてませんか？

まったくそのとおりです。すいません。

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/03/15 18:53

#4 の途中から分岐して

正n角形 z, z^2, ..., z^n と正n角形 1, z, ..., z^(n-1) が相似なので |z|=1, よって後者は「原点を中心とする半径 1 の円」に内接するから
(1/n)[1+z+...+z^(n-1)]=0,
よって z^n=1
ってやれば n=3 でもいけるな.

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/15 17:09

複素数もベクトルの性質を持っているから

ｚ、ｚ^2、・・ｚ^ｎが正ｎ角形を作るなら
ｚ＋ｚ^2＋・・・ｚ^ｎ＝0　つまり
ｚ(1＋ｚ＋・・・ｚ^(ｎ-1）)＝0
ここでｚ≠0だから
1＋ｚ＋・・・ｚ^(ｎ-1）＝0
ゆえに
(ｚ^ｎ)－1＝(ｚ－1)(1＋ｚ＋・・・ｚ^(ｎ-1）)＝0
でどうでしょうか？

この回答へのお礼

正n角形の中心が原点だと誤解されてませんか？

お礼日時：2022/03/16 12:13

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/15 10:11

失礼しました。

z+z²+z³+…+zⁿ=nc・・・・②
のため誤りでした。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/15 08:09

まず、仮定を満たさないので

　z≠0, 1　・・・・・・①
は自明。

各頂点の和、つまり重心は外接円の中心 cとなる。つまり、
　z+z²+z³+…+zⁿ=c・・・・②
さらに、各頂点と cの距離は外接円の半径 rに等しいから
　|z^k - c|=r　(k=1,…,n)
k=1,n として、②を使うと
　|z²+z³+…+zⁿ|=|z+z²+…+zⁿ⁻¹|
→ |z||z+z²+…+zⁿ⁻¹|=|z+z²+…+zⁿ⁻¹|

ここで、①から、z+z²+…+zⁿ⁻¹=z(1-zⁿ⁻¹)/(1-z) なので
→ (|z|-1) (|z|/|1-z|) (1-zⁿ⁻¹)=0

したがって、
　|z|=1 or zⁿ⁻¹=1

後者とすると　zⁿ=z となり、これらが多角形の別の頂点という
仮定に矛盾。だから
　|z|=1
のみとなる。すると　|zⁿ|=1 となり、すべての頂点の距離は1
だから、外接円の中心は原点となる。すなわち、②において c=0.

すると
　z+z²+z³+…+zⁿ=z(1-zⁿ)/(1-z)=0 → zⁿ=1
を得る。