標準偏差の問題を教えてください。
「20 人のクラスで数学のテストを行ったところ,得点の平均値はx,標準偏差は sx
であった。また,出席番号が k (k = 1,2,…,20) の生徒の得点は xk であった。
ところが,採点後,問題に不備があることがわかった。ただし,不備のあった問題の
配点は 20 点であり,この問題を正解した生徒は一人もいなかったものとする。よく調べたところ,
問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだったので,出席番号 1 の生徒だけ 20 点加点することにした。出席番号 1 の生徒の,得点訂正前の得点について
x1= x^-
であるとき,得点訂正後の標準偏差 sz を表すとどうなりますか?」
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
余計なことですが。
選択問題で、その不備のある問題を選択したのが出席番号1の生徒だけだったのであれば、「問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだった」というのはあり得ますね。
それ以外だとどういう解釈が考えられますかね。
No.4
- 回答日時:
問題不備の対処法はいろいろあると思うけれど、
普通に行われるのは、全員正解扱いにするということ。それだと、
「この問題を正解した生徒は一人もいなかった」ならば
全員が得点に20点づつ加点されることになり、
「問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだった」
という記述と整合しない。
どういう得点訂正が行われたのか?
その辺の質問不備は脇に置いて、ともかく
20人中で得点が平均点と同じだった1人だけが 20点加点された
という状況を考えたいのならば、訂正後の分散は
(sz’)^2 = (1/20)Σ[i=1..20](x’i)^2 - { (1/20)Σ[i=1..20]x’i }^2
= (1/20){ (x’1)^2 + Σ[i=2..20](x’i)^2 } - { (1/20){ x’1 + Σ[i=2..20]x’i } }^2
= (1/20){ (x1 + 20)^2 + Σ[i=2..20](xi)^2 } - { (1/20){ (x1+20) + Σ[i=2..20]xi } }^2
= (1/20){ 40x1 + 400 + Σ[i=1..20](xi)^2 } - { (1/20){ 20 + Σ[i=1..20]xi } }^2
= 2x1 + 20 + (1/20)Σ[i=1..20](xi)^2 } - { 1 + (1/20)Σ[i=1..20]xi + { (1/20)Σ[i=1..20]xi }^2 }
= 2x1 + 19 - (1/20)Σ[i=1..20]xi + (1/20)Σ[i=1..20](xi)^2 - { (1/20)Σ[i=1..20]xi }^2
= 2x1 + 19 - x^- + sz^2
= 19 + x^- + sz^2.
よって、
sz’ = √(sz^2 + x^- + 19).
No.2
- 回答日時:
>配点は 20 点であり,この問題を正解した生徒は一人もいなかった
ということと
>問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだった
の関係がよく分かりません。
「実は、出席番号 1 の生徒は正解していた」ということ?
「問題に不備があった」のに、そんなことが言えるのですか?
「採点のしかたを間違えて」ということなら分かるけど。
「採点のしかたを間違えて全員不正解にしたが、実は出席番号 1 の生徒は正解だった」ということと考えてよいのかな?
要するに、「出席番号1の生徒に採点ミスがあり、得点が +20点になった」と単純に解釈します。
だとすれば、生徒全体の「合計点」が20点高くなるので、平均点が1点上昇します。
>出席番号 1 の生徒の,得点訂正前の得点について
x1= x^-
であるとき
この右辺は何? よく分からんので左辺の「x1」で書きます。
そうすれば、得点修正前の分散は
sx^2 = (1/20){(x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ・・・ + (x20 - x)^2}
ということです。
これに対して、得点修正後の分散は
sz^2 = (1/20){[(x1 + 20) - (x + 1)]^2 + [x2 - (x + 1)]^2 + ・・・ + [x20 - (x + 1)]^2}
ということになります。
これをまともに計算しても出るかもしれませんが、ここでは「分散」の求め方としてよく使う公式
s^2 = E[X^2] - {E[X]}^2
を使うのがよいでしょう。
(この公式は、教科書に載っていますから、必要であればその導出方法を復習してください)
つまり、得点修正前には
sx^2 = E[X^2] - x^2 ①
ということです。
これが得点修正後は、上に書いたように
sz^2 = E[X'^2] - (x + 1)^2 ②
になるわけです。
ここで、X は x1 が変わるだけなので
E[X'^2] = (1/20){(x1 + 20)^2 + x2^2 + x3^2 + ・・・ + x20^2}
= (1/20){40x1 + 400 + x1^2 + x2^2 + x3^2 + ・・・ + x20^2}
= (1/20){40x1 + 400} + (1/20){x1^2 + x2^2 + x3^2 + ・・・ + x20^2}
= 2x1 + 20 + E[X^2]
ここに①を使えば
E[X'^2] = 2x1 + 20 + sx^2 + x^2
これを②に代入すれば
sz^2 = 2x1 + 20 + sx^2 + x^2 - (x + 1)^2
= 2x1 + 20 + sx^2 + x^2 - (x^2 + 2x + 1)
= 2x1 + sx^2 - 2x + 19
よって、標準偏差は
sz = √(2x1 + sx^2 - 2x + 19)
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