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高校数学の質問です。

問:5人でじゃんけんをする時、あいことなる確率を求めよ。

という問題について、私は
①5人が同じ手を出す時
②グー、チョキ、パーが同時に出される時
に場合分けし、①は3通り、②はグーを出す人をa人、チョキを出す人をb人、パーを出す人をc人とし、
a+b+c=5 ③(ただしa≧1、b≧1、c≧1)
このとき、a=p+1、b=q+1、c=r+1 とすると、③は
p+q+r=2 (ただしp≧0、q≧0、r≧0)と変形できる。
つまり2個の区別のつかないものを3人で分ける時の分け方の場合の数と一致するから
4C2=6通り
以上より、(3+6)/3⁵=1/27...答

としましたが、体感で違うことはわかりますし、実際は17/27でした。
ここで質問ですが、私の回答はなにがいけなかったのでしょうか?

A 回答 (4件)

3^5は5人を区別してパターンを数えているけど


4C2=6 の方は人数だけで区別して数えてる。
グー2、パー2、チョキ1
だけでも人を区別すると5C1×4C2=30 パターンもあるし
グー3、パー1、チョキ1
では 人を区別すると5C1×4C3=20パターン
なので、其々の確からしさがバラバラ。

これは余事象を使うのが簡単。
あいこでないとは手が2種類の場合だから

例えば5人がグーとパーのいずれかをだすのは
2^5=32通り
但し全員パー、全員グーはあいこだから除くと30通り

2種類のパターンは3つだから全部で
90通り

(3^5-90)/3^5=17/27
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この回答へのお礼

ありがとうございました!
数え漏らしがあったんですね...!気づきませんでした!

お礼日時:2022/04/09 10:35

別解



人数で場合わけして数えると
手が3つなのは、3-1-1パターンと2-2-1パターンの
2通り。
グ-3人、チョキ1人、パ―1人→5C3×2C1=20通り
3人がチョキ、パーの場合も含めると60通り
グ一2人、チョキ2人、パー1人→5C2×3C2=30通り
1人がグ、パーのパターンもふくめると90通り

全員同じ手が3通り

(60+90+3)/3^5=17/27
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確率なので基本的に登場する物は区別がつくものとして扱うと間違わないことでしょう


5人をABCDEとする
あなたの②の考え方では
たとえば グー3人となるのは1通りとして計算されています
(チョキ3人、パー3人もそれぞれ1通り、グーだけ1人残りの手は2人ずつ
と言うパターンは計3通りと計算されている 合計6通り)
でも実際は、ABCがグーのとき
Dがチョキ
Eがパー
もあるし
Dがパー
Eがチョキ
もあります
これだけで2通りです

さらに、グーになるのがBCDなどもあります
このときもAEの手によって2通りに分かれます
こういうところが考慮されていないので数え漏れがあったのです!

グー2人、チョキ2人、パー1人などについても同様な数え漏れを考慮してください
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