X君は男で3人きょうだいのうちの1人である。次の(1),(2)の場合についてX君が長男である確率を求

X君は男で3人きょうだいのうちの1人である。次の(1),(2)の場合についてX君が長男である確率を求めよ。ただし長男とは第1子とは限らないものとする。
(1) X君に妹か弟がいるとわかっている場合
(2) X君に妹がいるとわかっている場合


この問題、不思議なことに(1)より(2)の方が確率が高くなります。そのことについて参考書の解説に
「X君に妹がいるということは、X君に妹か弟がいるときよりも第1子である可能性が高いことを意味している。したがって当然長男である確率が高まる。」
と書いてあって、一瞬納得しかけたのですが、しかし
"X君に妹か弟がいるということはX君が第1子である可能性を高める"
ということも言えますよね？第1子である方が妹か弟がいる可能性が高いわけですから。
そう考えると(1)と(2)を一概に比較することができないような気もしてきて混乱しはじめました。

どう考えればこの解説をすっきりと理解できるでしょうか？
妹がいるという情報には、妹か弟がいるという情報が持ちえない、何らかのX君が第1子である可能性を高める秘密があるのだと思うのですが、それをうまく言語化できる方がおられましたら、是非教えていただけないでしょうか。

No.8 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/05 04:21

条件(1)は「X君は第３子ではない」というだけの制約だが、条件(2)はさらに厳しい。

X君が長男である確率Pはいずれにしても
　　P = Pr(X君は第１子) + Pr(X君は第２子)×Pr(姉がいる | X君は第２子)
　　　= 1 - Pr(X君は第２子)×Pr(兄がいる | X君は第２子)
であり、そして(1)(2)どちらの条件でも
　　Pr(姉がいる | X君は第２子)= Pr(兄がいる | X君は第２子) = 1/2
だから、
　　P = Pr(X君は第１子) + Pr(X君は第２子)/2
　　　= 1 - Pr(X君は第２子)/2
という風に読めば：「条件(1)はX君が第1子でも第２子でもイッショ（場合の数が同じ）だが、条件(2)は、X君が第２子であるよりも、X君が第１子である方が満たしやすい（場合の数が多い）。だから、Pr(X君は第２子)は条件(2)の方が小さい」という説明で大体いいんじゃないかと思うが、ご質問の答にはなってないかな。どうもボンクラですいません。

この回答へのお礼

この回答が非常に常識的で丁寧なものであることは重々承知しているのですが(その点についてはとても感謝しています)……やはりこれを何度も読んでも「わかった！」という気持ちになれないのが正直なところです。

妹と弟がいるということは第1子である確率を高めないのに、なぜ妹がいるということは第1子である確率を高めるのか、あるいは、妹がいるということは第1子である確率を高めるのに、なぜ妹と弟がいるということは第1子である確率を高めないのか、ということを、自然な日本語で、素朴な感覚で、without calculating で理解したいと心の底から希望しています。

お礼日時：2022/05/08 10:15

No.12 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/11 09:52

No.8へのコメントについて

「without calculating」と感じるかどうかは個人の計算能力によると思うから、なかなか難しい。再チャレンジ：

条件(1): 「X君はN人兄弟で、末っ子ではない」と分かった。
　→ X君が第1子〜 第N-1子のどれであるか、可能性はどれも同じ。
条件(2): (1)に加えて、「妹がいる」と分かった。
　→X君が第k子なら、第k+1子～第N子の(N-k)人のうち少なくとも一人が女。
なので、kが小さいほど、X君が第k子である確率は高い。

No.11 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/05/06 10:33

いつも興味深い問題提起ありがとうございます。

チャレンジしてみました。

すると、『(2)の方が、条件によって該当事象が絞り込まれる』ということは分かります。
しかし、長男かどうかの判定の1の立ち方は、(1)(2)とも同じで、おっしゃるように兄弟の条件との関連性はありません。
それどころか、長男であるにも関わらず(2)では下記×印部分が除外されてしまいますので、参考書の解説は間違いです。

これは、ベイズのごとく、「弟か妹」「妹」という観測事実に依存しているのであり、それらが判明したのちに確率が決まるという事後確率です。

一概に説明するのは困難だと思います。

～～～～～～～～～～～～～～～～～

3人兄弟の全事象に対する各条件合致の生起を調べ、1を付けると

(1)妹か弟がいるという事実に１を長男であるという事実に１を付与する。
Ｘ男男,1,1,
Ｘ男女,1,1,
Ｘ女男,1,1,
Ｘ女女,1,1,
男Ｘ男,1,0,
男Ｘ女,1,0,
女Ｘ男,1,1,
女Ｘ女,1,1,
男男Ｘ,0,0,
男女Ｘ,0,0,
女男Ｘ,0,0,
女女Ｘ,0,1,

兄弟の条件合致数8件中、長男は6件で3/4

(2)妹がいるという事実に１を長男であるという事実に１を付与する。
Ｘ男男,0,1,×
Ｘ男女,1,1,
Ｘ女男,1,1,
Ｘ女女,1,1,
男Ｘ男,0,0,
男Ｘ女,1,0,
女Ｘ男,0,1,×
女Ｘ女,1,1,
男男Ｘ,0,0,
男女Ｘ,0,0,
女男Ｘ,0,0,
女女Ｘ,0,1,

兄弟の条件合致数5件中、長男は4件で4/5

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/05 19:37

(1)

X君に妹か弟がいてX君が長男の場合は
X男男…①
X男女…②
X女男…③
女X男…④
X女女…⑤
女X女…⑥
の6通り
X君に妹か弟がいてX君が長男でない場合は
男X男…①
男X女…②
の2通り
だから
X君が長男である確率は

6/(6+2)=6/8=3/4=0.75

(2)
X君に妹がいてX君が長男の場合は
X男女…①
X女男…②
X女女…③
女X女…④
の4通り
X君に妹がいてX君が長男でない場合は

男X女…①
の1通り
だから
X君が長男である確率は

4/(4+1)=4/5=0.8

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/05 04:38

No.8について、やっぱし書いておきます。

「大体いいんじゃないか」というのは「X君が第１子の時に条件(2)では、男ばかりの兄弟という1つの場合だけを除く」という違いがあるけれど、それに対して第２子の場合の数の違いはもっと大きいのは明らかなのだが。でもキチンとやろうとするとまるっぽ問題を解くことになってしまって、ここをキレイに言いくるめるのがなかなか難し…

No.7 回答者： いろはにほべと 回答日時： 2022/05/05 02:04

もう黙りなさい。

ボンクラ過ぎます。」←だからぁ・・

あなたの言いたいのは　妹が2番目に産まれた時の確率だから　妹の方が　X君が長男である確率が高い・・って事でしょ・・

・・・・・・・俺の言ってるのは　男女の　どちらが産まれるのかは　誰にも分からないから　其処を飛ばしてるだけ・・

なので2分の1でイイのです・・

くだらない事まで考えないのが　俺の生き方

No.6 回答者： いろはにほべと 回答日時： 2022/05/05 01:45

いいえ、あなたが頭の悪くなる魔術にかかっているだけです。

」←
だったら　それでイイのでは？

3人のうち　下の子が居るのなら　上2人のうちの　どちらか？・・だけの確率だって事に気付かないのなら　堂々巡りな　だけだから・・

この回答へのお礼

もう黙りなさい。
ボンクラ過ぎます。

久しぶりに見ましたよ、あなたみたいなの。

お礼日時：2022/05/05 01:56

No.5 回答者： いろはにほべと 回答日時： 2022/05/05 00:54

あなたに任せたらこの世の確率は全て1/2ということになりそうですね。

時々いますよね、確率と聞けばなんでも1/2だと言い出す困った人が。」←妹が居るからってトコに惑わされると　あなたや　その質問を思いついた人みたいに　確かに確率は　妹のという方が高い様に思えるが　・・其処が違うのです・・

妹だろーと弟だろーとX君の方が先に産まれてる事に変わりは無いので　2分の1・・

あなたは言葉の魔術に惑わされてるだけ・・

この回答へのお礼

いいえ、あなたが頭の悪くなる魔術にかかっているだけです。

お礼日時：2022/05/05 01:34

No.4 回答者： いろはにほべと 回答日時： 2022/05/05 00:18

あなたの手が届くようなゴミのような質問は他にたくさんあるでしょうから、そちらに挑戦なさいな」←そうですか・

妹が居ても　弟が居ても　一番下に　なる事は　無いのだから　2分の1の確率なだけ・・

あなたには　それが　理解出来ないから　2分の1だって事に気付かない・・

其処が　その質問文の捉え方のミスなだけ・・

この回答へのお礼

あなたに任せたらこの世の確率は全て1/2ということになりそうですね。

時々いますよね、確率と聞けばなんでも1/2だと言い出す困った人が。

お礼日時：2022/05/05 00:35

No.3 回答者： いろはにほべと 回答日時： 2022/05/04 23:46

まさか(1)も(2)も確率が同じだと思ってるんですか？」←そうですよ・・

3人兄弟のうち　一番下に弟か妹が居るのなら　1番目か2番目に　なるのだから・・

後は2分の1の確率なので・・

この回答へのお礼

もう、やめておきなさい。
時間の無駄です。
あなたに回答できる問題ではない。


あなたの手が届くようなゴミのような質問は他にたくさんあるでしょうから、そちらに挑戦なさいな。

お礼日時：2022/05/05 00:07