電磁気学 電界の強さ

xy平面における電位が次の式で表される。電界の強さを求めよ
(1)V=x/(x^2+y^2)^3/2
(2)V=(-1/2)log(x^2+y^2)
なお、極座標系の勾配、発散は以下の通り。
gradV=ar(∂V/∂r)+aθ(1/r)(∂V/∂θ)+aφ(1/rsinθ)(∂V/∂φ)

divA=(1/r^2)(∂(r^2Ar)/∂r)+(1/rsinθ)(∂(sinθAθ)/∂θ)+(1/rsinθ)(∂Aφ/∂φ)

教えてください。

質問者からの補足コメント

• すみません問題文が一部抜けていました。
  電界の強さを求め、直角座標および極座標で示せです。

    補足日時：2022/05/13 13:42

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2022/05/12 17:12

電界の強さは電位を空間微分すれば求まります。

デカルト座標（xy座標）は簡単ですね。
極座標の場合は、角度微分は長さでの微分になるように気をつけてください。
教科書や、公式集に出ています。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/12 18:01

題意が不明。

(1)
　E=-gradV
だから
　∂V/∂x=(x²+y²)⁻³/²+x(-3/2)(x²+y²)⁻⁵/²(2x)
　　　　=(x²+y²-3x²)(x²+y²)⁻⁵/²=(-2x²+y²)/(x²+y²)⁵/²
　∂V/∂y=x(-3/2)(x²+y²)⁻⁵/²(2y)
　　　　=(-3xy)(x²+y²)⁻⁵/²=-3xy/(x²+y²)⁵/²

　E=<(2x²-y²)/(x²+y²)⁵/², 3xy/(x²+y²)⁵/²>

(2)
　∂V/∂x={(-1/2)/(x²+y²)}2x=-x/(x²+y²)
　∂V/∂y={(-1/2)/(x²+y²)}(2y)=-y/(x²+y²)

　E=<x/(x²+y²), y/(x²+y²)>



なお、座標系を変換するならz方向に変化がないから、∂V/∂z=0 で
円筒座標系が簡単になる。すると

　E=-<∂V/∂r, (1/r)∂V/∂φ, 0> ・・・単位ベクトル er,eφ,ez

(1)
　V=cosφ/r²
　E=<2cosφ/r³, sinφ/r³, 0>・・・単位ベクトル er,eφ,ez

(2)
　V=(-1/2)log r²=-log r
　E=<1/r, 0, 0>・・・単位ベクトル er,eφ,ez

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/13 14:26

下記のとおりです。