
No.8
- 回答日時:
y=x^2
f(x)=x^2
とする
xがh増加するとf(x+h)=(x+h)^2
2点(x,x^2),(x+h,(x+h)^2)
を
通る直線の傾きは
{(x+h)^2-x^2}/h
=(x^2+2hx+h^2-x^2)/h
=(2hx+h^2)/h
=2x+h
になる
ここで hを0に近づけると
傾き
2x+h
は
2x
に近づくのです

No.7
- 回答日時:
2じゃなくて2xでしょ。
この2つはぜんぜん違うよ。
与式は2次関数だから曲線。
当然場所によって接線の傾きが異なる。
それを一般化して表したのが導関数y’=2x
この導関数y’を具体化すると次のようになる。
・x=1の地点における接線の傾きy’=2・1=2
・x=2の地点における接線の傾きy’=2・2=4
・x=3の地点における接線の傾きy’=2・3=6
・・・
それと、接線の傾きを考えないと意味がない。
傾きとはつまりその地点における変化の大きさ。
物理学では位置の変化から速度が求められ、速度の変化から加速度が導かれる。
この上なく重要な概念。
というより話は逆で、ニュートンは上のような力学現象を解明するために微分法を開発した。
No.6
- 回答日時:
> y=x^2 を微分すると 2x
て言い方が良くないやね。端折ることが誤解のモト。
正しくは、 y=x^2 を微分すると y’=2x になる。
これが y=2x じゃあないのを見れば、
傾きが 2 かなって誤解は起こらない(はず)。
y’ そのものが傾きなので、
2x から更に傾きを取り出して 2 にする必要はない
ってか、そんなことしちゃいかん。
y’’=2 ってことだから、それじゃあ y の傾きじゃなくて
「y の傾きの傾き」が 2 だって話になってしまう。
「傾きの傾き」を 2階微分係数って言って、
それはそれで使いみちはあるんだけどさ。
少なくとも「傾き」とは別のものだ。
No.5
- 回答日時:
y=x² の導関数は 2x で間違いありません。
導関数 そのものが 傾きなのです。
従って、この時の傾きは 2 ではなく 2x なのです。
つまり x=1 のときの 傾きが 2 で、
x=2 のときの傾きは 4 に、x=10 のときは 20になります。
「平均の傾き」ではなく x の特定の値に対する 傾きです。
これは 2次関数でも 3次関数でも一緒の事です。
No.3
- 回答日時:
微分の最初の部分で、
f(x) の x= p における「微分係数 f‘(p)」とは
「y=f(x)上の点(p,f(p))における接線の傾き」
になります。
例えば、f(x)=x^2のとき、
f(x) を微分すると、f’(x)=2x
x=0 → 点(0,0)における接線の傾き
= f’(0) = 0
x=1 → 点(1,1)における接線の傾き
= f’(1)= 2
x=2 → 点(2,4)における接線の傾き
= f’(2)= 4
x=-1 → 点(-1,1)における接線の傾き
= f’(-1)= -2
……
x=p → 点(p,p^2)における接線の傾き
= f‘(p)=2p
ということです。
f(x)を微分するということは、
f(x)上の各点における
「“接線の傾き”の関数」
を求めていることになります。
車とか自転車の運転でいえば、
「各地点でハンドルを左(又は 右)に
どれだけ切るか、あるいは真っ直ぐに保つか」みたいなものです。
No.2
- 回答日時:
> y=x^2 を微分すると2xになります。
これは、xの微小変化分dxと、yの微小変化分dyの比率、
つまり、その傾斜である dy/dxが2xである、と言う事です。
> この傾きが2というのは
この場合、傾きは「2」ではなく、「2x」です。
なので、xの値(曲線の位置)で、傾きは変わります。
> 関数のどこの点でのことを言うのですか。
その関数(曲線)の、任意のxの点の微小区間です。
> 2次関数や3次関数などの微分は傾きと言う事
その通りです。
No.1
- 回答日時:
グラフの
位置x地点
での接線の傾きが2xです
だから、例えばグラフの原点では
位置がx=0なので
この地点での傾きは
2x=2・0=0
です
平均の傾きではなくて
瞬間の傾き
とも言えます
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