期待度数と検定統計量の計算方法

東：4　西：73　南：11　北：16　　
の時の北の期待度数を教えてください。後、有意水準5％の時の検定統計量も教えて欲しいです。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/04 16:49

観測数、東西南北に線形制約が入らない例としては、

島を東西南北に区切って、カツオドリの営巣数を調査したところ・・・

というケースです。この時は合計はいくらでも良いので線形制約は掛かりません。

一様分布と置いて期待度数を推定する際、その合計が営巣数の合計に等しいという線形制約が掛かります。

そのため、自由度はー１になります。


一方、観測数に線形制約が掛かり、期待度数には線形制約が掛からない例としては、

サイコロを10回振って出目を調査したところ・・・

というケースです。これは、出現数に合計10という線形制約が掛かります。５つの目の出現数が決まれば最後の１個はおのずと決まってしまいます。

そして、このサイコロはイカサマサイコロであるかどうか検定せよ。という問題だと、一様分布を前提としろ、と言われているのと一緒で、期待度数は既知となり推定する必要はありません。よって、自由度は減りません。

そのため、自由度は「10回振ったという制約」からー１になります。


観測数に制限が掛かり、期待度数というか分布のパラメータもサンプルから推定すると、自由度がー２となります。



この問題は、104という数値があらかじめ決まっていると、自由度をー２にする必要があります。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/03 16:04

#1です。

自由度について。

この問題が、誰かが勝てば誰かが負ける（勝手に麻雀を想像してすみません）というサイコロと同じような状況（Σｘ＝104という線形制約が入っている）でないとしても、つまり各項が独立であるとしても・・・、

#1のように自由度が１減るのはなぜか、と疑問に思われるかもしれません。

この問題のように、あらかじめ確率ｐや期待度数が与えられていないケースでは、たとえ一様分布であっても、分布のパラメータを求めるために最尤推定を行った際に自由度が１つ減るのです。ｘ－np＝０という線形制約が入っています。

もし、これが麻雀の勝敗（誰かが勝てば誰かが負けるなら）なら、自由度がトータル２減ってφ＝２で検定しなければなりません。

設問の全体像が分からないのですが、ご注意ください。

なんか、先生が学生受けを狙って地雷を踏んでそうで恐い。
最近、多いんですよ。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/03 07:20

#1です。

もしかして、「北」だけで検定したいのでしょうか。

これは、少し前にサイコロの「３の目の確率」がイカサマかどうかの問題が質問され、教師の作ったヒントが「２項分布」だったけど、大間違い。

「３の目の出現確率」は他の目とは「独立」ではありません。

この問題も同様で、観測数の合計が104という線形制約が掛かっているから、各値はディリクレ分布に従います。

この検定は、やったことないです。


またまた、同じ教師による、地雷を踏んだパターンかなぁ。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/03 05:15

①期待度数は、無情報であれば一様分布と考えるのが妥当です。

合計すると104だから、それぞれの期待度数は26で良いのでは？

②検定は、何をやりたいのか不明だけど、意図を汲むとピアソンの適合度検定をしたいのかなぁ。

であれば、検定統計量は、Chisq＝Σ(ObsーExp)^2/Exp
Obs：観測度数
Exp：期待度数

H0：これらの観測値は一様分布に適合している
H1：これらの観測値は一様分布に適合していない

あとは、上記Chisqの計算値が、φ＝3のカイ２乗分布の95％範囲（0.216～9.35）の範囲外であれば、帰無仮説は棄却されます。

計算はご自分で。