「nを自然数とする。241+2^nは平方数となり得ないことを示せ。」という問題で、奇数（241+2^

「nを自然数とする。241+2^nは平方数となり得ないことを示せ。」という問題で、奇数（241+2^n）の平方数は8k+1の形をとることを使うのか、という予想をしてみたのですが、どうも先が分かりません。どなたか教えてください。

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/14 20:09

nが偶数の時

n=2k となる自然数kがある
(4^k)-1=0(mod3)だから
241+2^n=241+4^k=3{80+(4^k-1)/3}+2=2(mod3)
(平方数は3K+2の形をとらないから)
は平方数でない

nが奇数の時
n=1(mod4).or.n=3(mod8).or.n=7(mod8)
だから
n=1(mod4)の時
n=4k+1 となる整数kがある
(16^k)-1=0(mod5)だから

241+2^n
=241+2^(4k+1)
=5*48+1+2*16^k
=5*48+2(16^k-1)+3
=5{48+2(16^k-1)/5}+3
=3(mod5)
(平方数は5K+3の形をとらないから)
は平方数でない

n=3(mod8)の時
n=8k+3 となる整数kがある
(256^k)-1=0(mod17)だから

241+2^n
=241+2^(8k+3)
=17*14+3+8*256^k
=17*14+8(256^k-1)+11
=17{14+8(256^k-1)/17}+11
=11(mod17)
(平方数は17K+11の形をとらないから)
は平方数でない

n=7(mod8)の時
n=8k+7 となる整数kがある
(256^k)-1=0(mod17)だから

241+2^n
=241+2^(8k+7)
=17*21-116+128*256^k
=17*21+128(256^k-1)+12
=17{21+128(256^k-1)/17}+12
=12(mod17)
(平方数は17K+12の形をとらないから)
は平方数でない

∴
241+2^n
は平方数でない

No.10 回答者： syotao 回答日時： 2022/07/12 12:31

ごたごたするので要点だけ：

ある整数ａが平方数ならすべての自然数ｍにたいして
ｘ^2≡ａ（modｍ）となるような整数ｘが存在する、
つまりすべての法ｍにかんしてａが平方剰余であることが必要。
さてmod3に関する考察から
241+2^nがmod3に関して平方剰余になるためには
ｎが奇数でなければならないことが他の方によって示されている。
同様にmod5に関して241+2^nが平方剰余になる奇数ｎ
はｎ＝3＋4ｋの形の自然数でなければならないことが
実際の計算によってでてくる。
また同様にmod17に関して
241+2^nが平方剰余になる奇数ｎは
ｎ＝5＋8ℓな形でなければならないことが長い計算ででてきます。
この2つの形の自然数が一致することはないので
結局、241+2^nは平方数ではありません

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 10:13

nが偶数の時

n=2j となる自然数jがある
(4^j)-1=0(mod3)だから
241+2^n=241+4^j=3{80+(4^j-1)/3}+2=2(mod3)
(平方数は3k+2の形をとらないから)
は平方数でない

nが奇数の時
n=6j+1.or.n=6j+3.or.n=6j+5
だから

n=6j+1 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod7)だから

241+2^n
=241+2^(6j+1)
=7*34+3+2*64^j
=7*34+2(64^j-1)+5
=7{34+2(64^j-1)/7}+5
=5(mod7)
(平方数は7k+5の形をとらないから)
は平方数でない

n=6j+3 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod9)だから

241+2^n
=241+2^(6j+3)
=9*27-2+8*64^j
=9*27+8(64^j-1)+6
=9{27+8(64^j-1)/9}+6
=6(mod9)
(平方数は9k+6の形をとらないから)
は平方数でない

n=6j+5 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod9)だから

241+2^n
=241+2^(6j+5)
=9*30-29+32*64^j
=9*30+32(64^j-1)+3
=9{30+32(64^j-1)/9}+3
=3(mod9)
(平方数は9k+3の形をとらないから)
は平方数でない

∴
241+2^n
は平方数でない

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 10:11

nが偶数の時

n=2j となる自然数jがある
(4^j)-1=0(mod3)だから
241+2^n=241+4^j=3{80+(4^j-1)/3}+2=2(mod3)
(平方数は3k+2の形をとらないから)
は平方数でない

nが奇数の時
n=6j+1.or.n=6j+3.or.n=6j+5
だから

n=6j+1 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod7)だから

241+2^n
=241+2^(6j+1)
=7*34+3+2*64^j
=7*34+2(64j-1)+5
=7{34+2(64^j-1)/7}+5
=5(mod7)
(平方数は7k+5の形をとらないから)
は平方数でない

n=6j+3 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod9)だから

241+2^n
=241+2^(6j+3)
=9*27-2+8*64^j
=9*27+8(64^j-1)+6
=9{27+8(64^j-1)/9}+6
=6(mod9)
(平方数は9k+6の形をとらないから)
は平方数でない

n=6j+5 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod9)だから

241+2^n
=241+2^(6j+5)
=9*30-29+32*64^j
=9*30+32(64^j-1)+3
=9{30+32(64^j-1)/9}+3
=3(mod9)
(平方数は9k+3の形をとらないから)
は平方数でない

∴
241+2^n
は平方数でない

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 10:08

nが偶数の時

n=2j となる自然数jがある
(4^j)-1=0(mod3)だから
241+2^n=241+4^j=3{80+(4^j-1)/3}+2=2(mod3)
(平方数は3k+2の形をとらないから)
は平方数でない

nが奇数の時
n=6j+1.or.n=6j+3.or.n=6j+5
だから

n=6j+1 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod7)だから

241+2^n
=241+2^(6j+1)
=7*34+3+2*64^j
=7*34+2(64j-1)+5
=7{34+2(64^j-1)/7}+5
=5(mod7)
(平方数は7k+5の形をとらないから)
は平方数でない

n=6j+3 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod9)だから

241+2^n
=241+2^(6j+3)
=9*27-2+8*64^j
=9*27+8(64^j-1)+6
=9{27+8(64^j-1)/9}+6
=6(mod9)
(平方数は9k+6の形をとらないから)
は平方数でない

n=6j+5 となる整数jがある時
(64^j)-1=0(mod9)だから

241+2^n
=241+2^(6j+5)
=9*30-29+32*64^j
=9*30+32(64^j-1)+3
=9{30+8(64^j-1)/9}+3
=3(mod9)
(平方数は9k+3の形をとらないから)
は平方数でない

∴
241+2^n
は平方数でない

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 03:50

nが偶数の時

n=2j となる自然数jがある
(4^j)-1=0(mod3)だから
241+2^n=241+4^j=3{80+(4^j-1)/3}+2=2(mod3)
(平方数は3k+2の形をとらないから)
は平方数でない

n=4j+1 となる自然数jがある時
(16^j)-1=0(mod5)だから
241+2^n
=241+2^(4j+1)
=5*48+1+2*16^j
=5*48+2(16^j-1)+3
=5{48+2(16^j-1)/5}+3
=3(mod5)
(平方数は5k+3の形をとらないから)
は平方数でない

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/11 09:04

nが奇数のとき、

241+2^n
が平方数でない事を証明するために
背理法を使って
241+2^n
が平方数と仮定すると
それは奇数の平方数であるはずだから
241+2^n=(2m+1)^2 となる自然数mがある
と仮定し
矛盾を引き起こして証明しようとしたのですが
間違えたので取り消します

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/10 19:43

#3です間違えました#3を取り消します

nが偶数の時
n=2j となる自然数jがある
(4^j)-1=0(mod3)だから
241+2^n=241+4^j=3{80+(4^j-1)/3}+2=2(mod3)
(平方数は3k+2の形をとらないから)
は平方数でない

nが奇数の時
n=2j+1 となる整数jがある
241+2^n=(2m+1)^2となる自然数mがあると仮定すると

241+2^n=4m^2+4m+1
↓両辺から1を引くと
240+2^n=4m(m+1)
↓n=2j+1だから
240+2^(2j+1)=4m(m+1)
240+2*4^j=4m(m+1)
↓両辺を4で割ると
60+2*4^(j-1)=m(m+1)

左辺は3の倍数でないから
右辺も3の倍数でないから
mもm+1も3の倍数でないから
m=1(mod3)
m+1=2(mod3)
でなければならないから
右辺2m(m+1)=2(mod3)は間違いでした

この回答へのお礼

すみません。nが奇数のとき、241+2^n=(2m+1)^2 となる自然数mがあると仮定したのはなぜでしょうか。

お礼日時：2022/07/11 06:49

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/10 19:24

nが偶数の時

n=2j となる自然数jがある
(4^j)-1=0(mod3)だから
241+2^n=241+4^j=3{80+(4^j-1)/3}+2=2(mod3)
(平方数は3k+2の形をとらないから)
は平方数でない

nが奇数の時
n=2j+1 となる整数jがある
241+2^n=(2m+1)^2となる自然数mがあると仮定すると
241+2^n=4m^2+4m+1
↓両辺から1を引くと
240+2^n=4m(m+1)
↓n=2j+1だから
240+2^(2j+1)=4m(m+1)
240+2*4^j=4m(m+1)
↓両辺を2で割ると
120+4^j=2m(m+1)
3*40+4^j=2m(m+1)

左辺は3の倍数でないから
右辺も3の倍数でないから
mもm+1も3の倍数でないから
m=1(mod3)
m+1=2(mod3)
でなければならないから
右辺2m(m+1)=2(mod3)
一方
左辺3*40+4^j=1(mod3)
だから
矛盾するから
241+2^n
は平方数でない

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/10 16:34

nが偶数の時

n=2j となる自然数jがある
(4^j)-1=0(mod3)だから
241+2^n
=241+4^j
=3*80+(4^j)-1+2
=3{80+(4^j-1)/3}+2
=2(mod3)
(平方数は3k+2の形をとらないから)
は平方数でない