sinhxの置換積分法を教えてください

sinhxの置換積分法を教えてください

質問者からの補足コメント

• e^x-e^{-x})/2としてt=e^xとしたらどうなりますか?

    補足日時：2022/07/20 18:28

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/21 04:09

sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2

∫sinh(x)dx=∫{(e^x-e^{-x})/2}dx

t=e^x
とすると
dt=(e^x)dx=tdx
dt=tdx
(1/t)dt=dx

=∫{(t-1/t)/2}(1/t)dt
=∫{(1-1/t^2)/2}dt
=(t+1/t)/2+C
=(e^x+e^{-x})/2+C
=cosh(x)+C

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/21 01:48

「e^x-e^{-x})/2としてt=e^xとしたら」地道に計算すれば結局 cosh x になる.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/20 16:47

無理やり置換積分するなら、

∫{ sinh x }dx = ∫{ 2(sinh x/2)(cosh x/2) }dx
　　　　　　= ∫{ 4t }dt　　　　； t = sinh x/2 で置換
　　　　　　= 2t^2 + C　　　　； C は定数
　　　　　　= 2(sinh x/2)^2 + C
　　　　　　= (cosh x) - 1 + C
　　　　　　= (cosh x) + D　　　； D は定数
とか？
双曲線関数の公式は、三角関数ほど慣れてないだろうと思うけど。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/20 13:45

単に sinh を積分したいということなら

置換積分はいらないです。
∫sinhx dx = coshx + C

それとも、置換積分したい式が別にある？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/20 13:00

sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2

∫sinh(x)dx
=∫{(e^x-e^{-x})/2}dx
=(e^x+e^{-x})/2+C
=cosh(x)+C