質問14 i)0<r<2かつn≧-1かつ(0<r<2を考慮した上で)r=lz-1lであるため、z=→

質問14
i)0<r<2かつn≧-1かつ(0<r<2を考慮した上で)r=lz-1lであるため、z=→1となり、f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)とした場合、
f(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)として
z=1の時にn+2位の極を持つため

res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)を使い、


i)0<r<2の場合かつn≧-1かつ(0<r<2を考慮した上で)r=lz-1lであるため、z=→1となり、f(z)=1/{(z^2-1)とした場合、
f(z)=1/{(z+1)(z-1)として
z=1の時に1位の極を持つため

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)を使うのでしょうか？

仮にそうならば
f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)とした場合、res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)からa(n)を導くまでを、

f(z)=1/{(z^2-1)とした場合、
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)からa(n)を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 質問15
  f(z)がz=aでk位の極を持つとき
  res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)を使うとの事ですが、
  
  
  f(z)=1/(z^2-1)とした場合、
  res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)からa(n)を導くまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  f(z)=1/(z^2-1)
  n≧-1かつ0<r<2の時にz=1でf(z)=1/(z^2-1)は1位の極を持ち、
  
  res(f(z),1)=1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
  = 1/(z+1)
  と導けたのですが、
  
  正しい答えはa(n)=-1/(-2)^(n+2)です。
  
  なぜ正しいa(n)が導けなかったのでしょうか？

    補足日時：2022/08/18 12:18

• 質問15
  2022 8.17 20:35の解答において画像に書いた質問があります。どうか答えて頂けると助かります。
  
  質問16
  なぜmは-1となるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/19 14:52

• ありがとうございます。
  画像について
  0<r<2の時は青、赤、緑の下線部のa(n)の式が使えて、
  r>2の時は青いa(n)の式のみ使う理解で正しいですか？
  
  
  
  青いa(n)の式を展開する過程で以下のように赤か緑の式を使うが
  仮に赤いa(n)の式を使う場合はnの部分をkに変えれば良い。
  
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
  ={1/(2πi)}2πires(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)},1)
  nの項を+2して
  res(g(z),1)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-a)^ng(z)
  
  g(z)に1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}を代入。
  
  ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1)(z-1)^(n+2)1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}

  
    補足日時：2022/08/20 05:43

• 質問とはことなるのですが、パーシバルの式について画像の赤い下線部のようになるまでの過程式を教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/22 08:26

• mtrajcp様、ありがとうございます。
  
  こちらが画像です。

  
    補足日時：2022/08/22 10:28

• mtrajcp様、こちらが画像です。

  
    補足日時：2022/08/22 10:30

• ありがとうございます！
  
  ちなみに、画像の⑩から⑦を導くまでは教えて頂くことは可能でしょうか？

  
    補足日時：2022/08/22 11:05

• ありがとうございます。
  
  画像に置いて、緑の下線部の式を求めるまでに赤い下線部の式を青で囲ったように部分的に分けましたが、
  なぜ、どうやって青で囲った式のように置けたのでしょうか？
  
  また、青で囲った式のように分けた後、どうやって赤い下線部を緑色の下線部の式にしたのでしょうか？
  過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/22 20:46

• 最後に
  なぜ直線f(x)とg(x)のx軸の点πの距離の自乗が赤い下線部の式の-π〜πの範囲の面積と等しくなるのでしょうか？
  
  また、等しいとわかった事で何がわかったのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/22 23:17

• 最後に、画像において、直接f(x)とg(z)のx軸の点πでの距離の自乗が赤い下線部の式の-π〜πの範囲の面積となぜ等しいのでしょうか？
  
  また、直接f(x)とg(z)のx軸の点πでの距離の自乗が赤い下線部の式の-π〜πの範囲の面積が等しい事で何がわかったのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/22 23:23

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/22 09:57

＞ 質問とはことなるのですが、パーシバルの式について

質問が異なります。毎回これをやっているようですが、
いいかげんにわきまえなさい。(例の彼が回答するんだろうなあ...)

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/20 17:46

＞ 0<r<2を考慮すると

＞ r>2を考慮すると

だから、そういうとこが問題だって指摘したんだけどな。
r って何やねんな？

ローラン展開の収束輪について何か言おうとしてるなら、
まず収束輪の外部ではローラン展開は意味を持たない
ことを理解しよう。

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/20 16:33

同じ質問を同じ回答者との間で

延々とやってるねえ。

前々から指摘し続けているように、
あなたの最大の問題は
各記号の意味が計算途中で揺らいでいる点だ。
そのため、自分が何を計算してるのか見失っている。

そもそも a(n) って何やねん？ とか、
lim の式の a とか c とか何やねん？ とか、
判ってやってる？

1/(z^2-1) の z=1 を中心とするローラン展開の
(z-1)^n 項の係数を a(n) としてるなら、
あなた自身使い方がよく解ってない「公式」を持ち出すより、
前回の質問に回答したように
1/(z+1) を z=1 中心にテイラー展開して
式の両辺を (z-1) で割ったほうが早いし、簡単。
そもそも、このやり方が
あなたの好きな例の「公式」の出処なんだから。

極でのローラン展開は、もとの関数に中心の適当な冪を
掛ければ、単なるテイラー展開になってしまう。
テイラー展開の各係数なら、微分すれば求まるだけの話。

f(z) が z=c に k 位の極を持つならば、
(z-c)^k f(z) は z=c が可除特異点であって
z=c 中心にテイラー展開できてしまう。
その展開を (z-c)^k f(z) = Σ[j=0→∞] A(j) (z-c)^j と置けば、
A(j) = (1/j!) lim[z→c] (d/dz)^j { (z-c)^k f(z) }.
これは、テイラー展開の基礎知識に過ぎない。
この式で lim[z→c] を使っているのは、
z=c が (z-c)^k f(z) の可除特異点であって
形式的には正則点ではないというほんの形式上のこと。
あれは代入だと思っても、あまり問題は無い。
ここまでは、ほぼ高校範囲だ。

テイラー展開の式を両辺 (z-c)^k で割ると
f(z) = Σ[j=0→∞] A(j) (x-c)^(j-k) で、
これを (x-c) の指数が n になるように j-k=n で整えると
f(z) = Σ[n=-k→∞] A(n+k) (x-c)^n.
これを a(n) の定義
f(z) = Σ[j=-∞→∞] a(n) (x-c)^n と比較すれば、
n < -k のとき a(n) = 0,
n ≧ -k のとき a(n) = A(n+k) = (1/(n+k)!) lim[z→c] (d/dz)^(n+k) { (z-c)^k f(z) }.

f(z) = 1/(z^2-1), c = 1 ならば、k = 1 なので
n ≧ -1 のとき a(n) = (1/(n+1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { (z-1)/(z^2-1) }
= (1/(n+1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { (z+1)^-1 }
= (1/(n+1)!) lim[z→1] { (-1)(-2)(-3)...(-n-1) (z+1)^(-n-2) }
= (1/(n+1)!) { (-1)^(n+1) (n+1)! (1+1)^(-n-2) }
= (-1)^(n+1) 2^(-n-2)
= -1/(-2)^(n+2).

あなたは
Res[f(z),a] = (1/(k-1)!) lim[z→a] (d/dz)^(k-1) (z-a)^k f(z)
の公式を使うことに拘っているようだが、この式は、右辺を見れば判るように
ローラン展開の (z-a)^-1 項の係数しか求まらない式なので、
これを各 a(n) を求めるのに使うには、 f(z) に (z-a)^n を掛けて
各項の次数をずらしてやらねばならない。その際に
各時点の計算で扱っているローラン展開について
何が f(z) なんだか、何が a(n) なんだか、何が n なんだか
見失っているようでは、計算にならないんだ。

この回答へのお礼

ありものがたりさん、ありがとうございます。

「テイラー展開の式を両辺 (z-c)^k で割ると
f(z) = Σ[j=0→∞] A(j) (x-c)^(j-k) で、
これを (x-c) の指数が n になるように j-k=n で整えると
f(z) = Σ[n=-k→∞] A(n+k) (x-c)^n.
これを a(n) の定義
f(z) = Σ[j=-∞→∞] a(n) (x-c)^n と比較すれば、
n < -k のとき a(n) = 0,
n ≧ -k のとき a(n) = A(n+k) = (1/(n+k)!) lim[z→c] (d/dz)^(n+k) { (z-c)^k f(z) }.」...①
とあれど、

0<r<2を考慮すると

「f(z) = 1/(z^2-1), c = 1 ならば、k = 1 なので
n ≧ -1 のとき a(n) = (1/(n+1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { (z-1)/(z^2-1) }
= (1/(n+1)!) lim[z→1] (d/dz)^(n+1) { (z+1)^-1 }
= (1/(n+1)!) lim[z→1] { (-1)(-2)(-3)...(-n-1) (z+1)^(-n-2) }
= (1/(n+1)!) { (-1)^(n+1) (n+1)! (1+1)^(-n-2) }
= (-1)^(n+1) 2^(-n-2)
= -1/(-2)^(n+2)」となり、

n≦-2の時はa(n)=0なり、

r>2を考慮すると
n≧-1の時は
a(n)=(1/(n+k)!) lim[z→c] (d/dz)^(n+k) { (z-c)^k f(z)を使うが、
z=1,z=-1の二つの場合があり
a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=1)+Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},z=-1)=0となり、
a(n)=0となりるので①とは異なる結果になりますが、これはrを考慮した故だと考えています。

お礼日時：2022/08/20 17:35

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/20 10:26

f(z)がz=aでk位の極を持つとき

0<|z-a|<Rでのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
となるのです
だから
f(z)がz=aでk位の極を持つとき
の
k
と
a(n)
の
n
は違うのです同じ変数を使わないで下さい
もし
f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n
で
nとkを同じにしたら　n=-n～∞　となって矛盾するのです

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/20 09:58

f(z)がz=aでn位の極を持つとき

の
nはf(z)に対して唯1つ定まる定数なのです

a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
の
n
はf(z)に関係無く
-∞～∞の全ての整数に変化する変数なのです
定数と変数は違うのです同じ変数を使わないで下さい

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/20 06:00

f(z)がz=aでn位の極を持つとき

の
n
と
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
の
n
は違うのです同じ変数を使わないで下さい

f(z)に対して
0<r
|z-1|=rで正則であれば無条件に
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
となるのです

g(z)がz=aでk位の極を持つとき
の
res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1){{(z-a)^k}g(z)}
となるのです

a(n)のnとk位の極のkを同じ変数nにしてはいけません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「f(z)がz=aでn位の極を持つとき
の
n
と
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
の
n
は違うのです同じ変数を使わないで下さい」
今更で申し訳ありません。何がどのように違うnなのでしょうか？


「g(z)がz=aでk位の極を持つとき
の
res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1){{(z-a)^k}g(z)}
となるのです」
って事はg(z)がz=aでn位の極を持つ場合は

res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(k-1){{(z-a)^k}g(z)}
ではなく、
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
を使うわけでしょうか？

お礼日時：2022/08/20 07:29

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/19 20:25

質問20

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m…③
b(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}…(1)…④
は
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
を
求めるために使い
(3)から
以下のようにa(n)を求めるのです

------------------------------------------
(ローラン公式1g)
g(z)が
z=c でk位の極を持ち
0<|z-c|<Rで正則な時
0<|z-c|<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m…③

m≧-kの時
b(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}…(1)…④
m≦-k-1の時
b(m)=0
------------------------------------------
(ローラン公式2g)
g(z)が
z=c でk位の極を持ち
0<|z-c|=r<Rで正則な時
0<|z-c|=r<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m…③

b(m)={1/(2πi)}∫_{|z-c|=r}{g(z)/(z-c)^(m+1)}dz
b(m)=Res(g(z)/(z-c)^(m+1),c)…(2)
m=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∫_{|z-c|=r}g(z)dz
b(-1)=Res(g(z),c)
-----------------------------
(留数公式)
g(z)が
z=c でk位の極を持つ時
0<|z-c|=r<Rで正則な時
0<|z-c|=r<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m…③

(1),(2)から
m≧-kの時
Res(g(z)/(z-c)^(m+1),c)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}
m=-1の時
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
------------------------------------------------------------------
ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つから
留数定理から
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
で
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
c=-1
k=1
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z-1)^(-n-2)}
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)

∴n≦-2の時
a(n)=(-2)^(-n-2)

n≧-1の時
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)は
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=-1
k=1
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z+1)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}}
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=1
k=n+2
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),1)
={1/(n+2-1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+2-1){(z-1)^(n+2)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0

∴n≧-1の時
a(n)=0

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/19 20:15

質問19

res(g(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
は
g(z)がz=aでn位の極を持たなければ間違いです

g(z)がz=cでk位の極を持つ時
res(g(z),c)=1/(k-1)! lim[z->c](d/dz)^(k-1)(z-c)^k g(z)
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
となるのです
なぜ(3)となるかは以下の通り(1),(2)から(3)となるのです

------------------------------------------
(ローラン公式1g)
g(z)が
z=c でk位の極を持ち
0<|z-c|<Rで正則な時
0<|z-c|<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m

m≧-kの時
b(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}…(1)
m≦-k-1の時
b(m)=0
------------------------------------------
(ローラン公式2g)
g(z)が
z=c でk位の極を持ち
0<|z-c|=r<Rで正則な時
0<|z-c|=r<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m

b(m)={1/(2πi)}∫_{|z-c|=r}{g(z)/(z-c)^(m+1)}dz
b(m)=Res(g(z)/(z-c)^(m+1),c)…(2)
m=-1の時
b(-1)={1/(2πi)}∫_{|z-c|=r}g(z)dz
b(-1)=Res(g(z),c)
-----------------------------
(留数公式)
g(z)が
z=c でk位の極を持つ時
0<|z-c|=r<Rで正則な時
0<|z-c|=r<Rでのローラン展開は

g(z)=Σ_{m=-k～∞}b(m)(z-c)^m

(1),(2)から
m≧-kの時
Res(g(z)/(z-c)^(m+1),c)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)(z-c)^k}
m=-1の時
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/19 20:05

質問18

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は

{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}

=res(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)},1)
=res(g(z),1)
とはなりません

{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz≠res(g(z),1)
です

ii)
n≦-2の時
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるのです
左辺の中心はz=1右辺の中心はz=-1なのです

n≧-1の時
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

左辺の中心はz=1右辺は-1と1の留数を加えたものなのです


ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つから
留数定理から
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)…(ここで使うため)
で
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
c=-1
k=1
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z-1)^(-n-2)}
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)

∴n≦-2の時
a(n)=(-2)^(-n-2)

n≧-1の時
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)は
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=-1
k=1
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z+1)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}}
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=1
k=n+2
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),1)
={1/(n+2-1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+2-1){(z-1)^(n+2)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0

∴n≧-1の時
a(n)=0

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/19 19:44

質問17

ii)
n≦-2の時
a(n)=Res(g(z),-1)
で
Res(g(z),-1)を求めるため
c=-1
k=1
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
を使うため

n≧-1の時
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)
で
Res(g(z),-1)を求めるため
c=-1
k=1
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
Res(g(z),1)を求めるため
c=1
k=n+2
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
を使うため
(3)を導いた

----------------------------------------------
(留数公式)
g(z)が
z=c でk位の極を持つ時
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)
-------------------------------------------
ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

n≦-2の時
n+2≦0
0≦-n-2
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
は
|z-1|<rでz=-1で1位の極を持つから
留数定理から
{1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=Res(g(z),-1)
となるから
a(n)=Res(g(z),-1)

Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}…(3)…(ここで使うため)
で
g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)
c=-1
k=1
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z-1)^(-n-2)}
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)

∴n≦-2の時
a(n)=(-2)^(-n-2)

n≧-1の時
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)は
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=-1
k=1
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),-1)
={1/(1-1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(1-1){(z+1)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}}
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

(3)の
Res(g(z),c)={1/(k-1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(k-1){g(z)(z-c)^k}
で
c=1
k=n+2
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると
Res(g(z),1)
={1/(n+2-1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+2-1){(z-1)^(n+2)/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0

∴n≧-1の時
a(n)=0