無理数には、任意の有限個の数列が必ず含まれるのでしょうか

数学に詳しい人にお聞きします。無理数を何か1つ決めたとし、有限個の数列も何か１つ決めたとします。その無理数には、当該数列が必ず含まれるのでしょうか。それとも当該数列は絶対に出現しないということが証明された実例がありますか。たとえばルート2には、連続した１が１億個現れることは絶対にないなど（適当にでっち上げた例で、ほんとかどうかは知りません）。

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい。似た質問がありました。
  　>無理数の数字の組み合わせ。無限の意味について
  
  この回答で、有限個の数列が現れない人工的に作った数列はよくわかりました。それではルートnの形の無理数や有名なπやeではどうでしょうか。

    補足日時：2022/10/25 17:21

• お2人から回答をいただきました。ありがとうございます。比較的くわしい回答の ありものがたりさんをベストアンサーにいたします。

    補足日時：2022/10/30 16:58

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/27 15:54

任意の有限数列が桁数に応じた一様な確率で含まれる小数のことを「正規数」と言います。

ほとんどの実数は正規数だと信じられていますが、それを証明した人はいません。
有理数は正規数ではないこと、
無理数の中に正規数でないものがあること はすぐ判ります。
正規数であることが証明されている数も、いくつかはあります。
判っているのはそれくらいで、π や e が正規数か否かすら知られていません。
ぜひ、あなたがそれら明らかにしてください。期待しています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。正規数で検索したところ、いろいろ記事が出てきて、その意味がかなりわかってきました。正規数であれば任意の有限数列が必ず含まれると言えるようですが、その理由がいま一つピンときません。「任意の有限数列が桁数に応じた一様な確率で含まれる」、かつそれを含むのが無限数列だから、という直感的な理解でよいでしょうか。

> ぜひ、あなたがそれら明らかにしてください。
天才的な数学者でも解けない難問をわたしごときが解けるはずもありませんが、今回の回答でこの分野に興味が出てきました。こういうのを研究する数学の分野は何というものですか。実数論でしょうか（検索するとそんなタイトルの本もあるようです）。高校数学程度の知識しかありませんが、お勧めの参考書があればぜひお教えください。

お礼日時：2022/10/27 17:34

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/26 19:47

>>「原理的に証明できない」という理由があるのでしょうか。

無いです。
何桁に何の数字が出現するかを表す式が作れるとは思いません。
が、将来、出来るかも知れません。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/25 18:06

証明は出来ません。

無理数は、限りなく100%超越数です（π、eはその1例）。
ⁿ√aの形の代数的数は有限個しかありませんから・・。

で、超越数はどの桁にどういう数が来るか予想出来ていません。
そういう式も有りません。

知ってるのは「神」だけですが、残念ながら「神」と交信できる人が居ません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ただ「証明できない」の理由が「超越数はどの桁にどういう数が来るか予想出来ていない」とすると、将来数学が進歩して証明できるかもしれないという含意ですか。それとも何か「原理的に証明できない」という理由があるのでしょうか。

お礼日時：2022/10/26 19:42