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レンズのフーリエ変換作用とは何かわかりやすく教えて下さい。
または、光学的な計算・解析でのフーリエ変換の意味を教えて下さい。
なお、私一応、数学のフーリエ変換をわかっているつもりです。
これをどうレンズに応用するのか、よくわからないのです。

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A 回答 (3件)

既にある程度の予備知識はお持ちのようなので、簡単に説明しますね。


詳しくは光学の割と基本的な本を参考にして下さい。

出発点はキルヒホッフの回折理論になります。
で、今光源があり、その先に開口がある場合、開口を通った像は上記理論の式で計算できます。
この像は要するに回折像になります。
さて、この像は、開口とスクリーンの距離によって、フレネル回折像(近いとき)、フランフォーファ回折像(遠いとき)と区別して計算します。
というのも、それによって近似の仕方が異なるためです。
さて、ここで、開口の後ろにレンズを入れてその焦点距離にスクリーンを置くと、レンズの働きにより丁度開口とスクリーンの距離を無限遠にしたときに相当します。
さて、こうやって立てたレンズによるこのフランフォーファ回折像の式を眺めると、丁度フーリエ変換式と同じ形になります。
(開口の関数をフーリエ変換した形になる)

これが基本となります。
おもしろいのはこの近似のなれの果てのような形で出てきたフーリエ変換による取り扱いが光学ではかなり本質的な意味をもちフーリエ光学として発展しました。
詳しい計算は省略しますが、開口による「フランフォーファ回折」の計算が載っていればその式を眺めてみることが出来ますよ。
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この回答へのお礼

大変わかりやすい説明で、参考になりました。
再勉強しようと思います。
これからも、皆さんのために
わかりやすい回答をお願いします。

お礼日時:2001/09/15 23:47

ちょっと古い本ですが、「フーリエ結像論」(共立出版)が分かりやすく、手許に置いています。



 光学系に点光源から光を入れたとき、それがどういう像を結ぶか、というのをOTF(optical transfer function)と言います。これが光学系の特性を表している。画像Pを入力したとき、出力はP*OTFになるからです(*は畳み込み積分)。つまり光学系はフィルターの一種であると考えることができる。幾何光学でも波動光学でもこの考え方は通用しますが、特に波動光学において重要です。OTFを複素関数として扱うことによって、光波の位相まで記述でき、これがホログラムなどの干渉現象では重要な役割を果たします。

 ご質問については、(おおざっぱな話ですが、)光学系が像を結んでおらず、平行光線を出力しているとき、これが像のフーリエ変換になっている。ですからここに絞りをいれてやると、特定の周波数成分を削ることができる。真ん中に邪魔物を入れれば直流成分を削って輪郭強調像が作れる訳です。もちろん、光がレーザー光などのように可干渉性(coherence)を持つことが前提ですけど。
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この回答へのお礼

大変詳しく、かつ、わかりやすい説明で、有難うございます。
私も「レンズ設計のための波面光学」(草川徹 著 東海大学出版会)で、
OTFと関係があることはわかったのですが。
回答の前半はよくわかりました。
後半の「光学系が像を結んでおらず、平行光線を出力しているとき、これが像のフーリエ変換になっている」という部分がちょっと、まだ私には理解ができていません。
これからも勉強したいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/09 23:46

私もよくわからないのですが、興味があって調べて見ました。


レンズと言うよりも、開口には光の回折作用があり、この結果(回折画像)がもとの光の二次元フーリエ変換になり、これにレンズを組み合わせてレンズのフーリエ変換作用と言うようです。
下記URLもどうぞ

参考URL:http://www.newport-japan.co.jp/tutorial/opt_113_ …
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この回答へのお礼

早速の御回答、有難うございます。
私も「レンズ設計のための波面光学」(草川徹 著 東海大学出版会)で、
OTFと関係あるらしく、特に回折に関係深いらしいことはわかりました。
また私もhttp://www.newport-japan.co.jp/tutorial/は前から見ていました。
わかりやすいですね。
さらにレンズとFFTとの関係とかわかるとありがたいですが。
多分光線追跡の計算手法だと思いますが。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/09 23:52

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レンズにはフーリエ変換作用があると、昔からよく聞きます。例えば、フラウンホーファー回折の強度分布をよく見るとたしかにフーリエのパワースペクトルと同じように見えます。

この作用には、何か理由があるのでしょうか?それともたまたまレンズをとおした光がフーリエ変換になっていたという観測事実なだけなのでしょうか?

Aベストアンサー

式で計算してもそうなります。
導出はフレネルキルヒホッフの回折積分から求め、開口を通った光をレンズに通す場合(式の上ではレンズなしで無限遠方にスクリーンがあることになる)には、式の形がフーリエ変換式と同一になります。
これはフランフォーファ回折と呼ばれています。

一見するとフレネルキルヒホッフ回折積分からフランフォーファ回折式導出までは近似で求めているかのように見えるのですが、意外とこれが本質的で、フーリエ光学という分野まで生まれています。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
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   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q複素振幅ってなんですか?

複素振幅と普通の振幅と何が違うのでしょうか。なにか、具体的な例はありますか?

Aベストアンサー

>電磁波の伝播に関するものなのですが、波を
A(x,t)=Re[A1expi(-wt+k・x)]と表わすと書いてあり、そしてA1は複素振幅だということしか書いてありませんでした。Reは実部をとる記号です。

電磁波の電場(磁場も同じ)をEとすると
 E=acos(k・x-ωt+θ)  (1)
と書かれます。これを複素表示するとオイラーの式(?)により
 E=Re[A1expi(k・x-ωt)] (2)
と書くことができます。ここで
 A1=aexp(iθ)  (3)
となり、これを複素振幅と呼んでいます。尤もexpi(k・x)の部分もA1に含める場合もあります。そのような場合はA1の表式がどうなるかはご自分で計算してみてください。
(2)は従って丁寧に書くと
 E=(1/2){Aexpi(k・x-ωt)+A*exp(-i(k・x-ωt))} (4)
と書けますね。(4)の右辺第2項を複素共役と呼んでいます。
さて、(2)の表式はいろいろ計算するのに指数関数の演算則が使えるので便利なんですね。例えばEの2乗(光の強度を求める場合なんかにでてくる)を計算するのに
|E|^2=EE*=A1expi(k・x-ωt)A1*exp{-i(k・x-ωt)}
   =AA*=|A|^2  (4)
と簡単に計算できるというわけです。
もっと具体的には参考URLに分かりやすく書かれていますので是非参照してみてください。

参考URL:http://www.nano.pe.u-tokyo.ac.jp/PPT-files/pr0521-28.ppt

>電磁波の伝播に関するものなのですが、波を
A(x,t)=Re[A1expi(-wt+k・x)]と表わすと書いてあり、そしてA1は複素振幅だということしか書いてありませんでした。Reは実部をとる記号です。

電磁波の電場(磁場も同じ)をEとすると
 E=acos(k・x-ωt+θ)  (1)
と書かれます。これを複素表示するとオイラーの式(?)により
 E=Re[A1expi(k・x-ωt)] (2)
と書くことができます。ここで
 A1=aexp(iθ)  (3)
となり、これを複素振幅と呼んでいます。尤もexpi(k・x)の部分もA1に含める場合もあ...続きを読む

Qフレネル回折とフラウンホーファー回折の違い

 フレネル回折とフラウンホーファー回折の違いは、開口からスクリーンまでの距離の違い以外にどのようなことがあるのでしょうか?初歩的な質問で申し訳ありません。最近光学について勉強し始めたもので・・
できましたら図を用いて詳しくご教授いただけたら幸いです。どなたかよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

フレネルキルヒホッフの回折式で、開口の大きさに対してスクリーンまでの距離が短いという近似をすればフレネル回折に、長いという近似をすればフランフォーファ回折の式が導出できます。

特段に物理的な意味の違いはありません。ただフランフォーファ回折の場合はその式がフーリエ変換式と同一になるという点、レンズを入れると結局無限遠の距離にスクリーンがあることと等価になるため、有用な概念であり、フーリエ回折光学という考え方の基礎となっています。

では。

Qフーリエレンズ

フーリエレンズ(そのレンズを通してみると点光源がある模様になって見えるもの、よく花火大会等で売られてる)について調べているのですが。
ぜんぜん情報が見つかりません
今のところ知りたい情報は
・詳しい製造過程
・光がどのように屈折(反射)して模様に見えるのか
・昔絵とレンズが一体になったようなものだと説明を聞いたがそれだと裏から見えないから違うのではないか?
・どこで買えるのか?(模様の特注も可能か?)
今浮かんだだけでもこれだけあります
ほかにもいろいろな情報がほしいのでどんなことでもいいので知ってる方は教えてください

Aベストアンサー

何についてのお話かはわかりました。
大きなくくりで言うと初めにお答えした回折光学素子DOEの一種です。
ホログラム素子とは特に回折格子による光の回折現象を利用したものです。
フーリエ変換ホログラムとかかれているのは、見せたい模様の像の「フーリエ変換像」を記録してあるという意味です。
像の再生には、記録した時の光線(参照光といいます)で再生すると、「フーリエ変換像」が再生できます。
しかし、このままでは模様は見えないのでレンズを使いもう一度フーリエ変換すると(これを逆フーリエ変換といいます)像が現れます。
直接目で観測する場合は、人間の目自身がフーリエ変換レンズとして機能します。
このおもちゃの場合は電球の光などが参照光として機能しているわけです。

流れは以下のとおりです。

模様→フーリエ変換→フーリエ変換像→ホログラムに記録→再生(電球など)→フーリエ逆変換(レンズ、人間の目のレンズなど)→模様

作成方法はいくつか考えられます。

1)マスターホログラムを作成して転写して作る方法。
マスターホログラムは計算して作ることも出来ますし(これをCGH computer generated hologramといいます)、模様を光学系でフーリエ変換して記録することも出来ます。
(CGHの場合はEB描画装置などで電子データからマスターに書き込んでいきます。)
転写は簡単で、転写するフィルム材料の上にマスターを置いて上からレーザなどを使い露光します。

2)エンボスで作る方法
この方法は主に反射型ホログラム(たとえばハイウェイカードのホログラムシールなどでよく使われています)を作るときに使われる方法ですから、多分ですがこの方法ではないと思われます。
しかし品質は1)の方法に劣りますが、全く出来ないわけではないので可能性はあります。
作り方は要するに型を作ってプレスします。

1の方法に使われる材料は感光フィルム(写真のフィルムと同じですが、ホログラム用に解像度が極めて高いものがあります)か、ホログラム用ポリマーでしょう。
フィルムはAgfa, Kodakなどで、ポリマー材料はポラロイド社のものが有名です。

こんな説明でよろしいですか?

何についてのお話かはわかりました。
大きなくくりで言うと初めにお答えした回折光学素子DOEの一種です。
ホログラム素子とは特に回折格子による光の回折現象を利用したものです。
フーリエ変換ホログラムとかかれているのは、見せたい模様の像の「フーリエ変換像」を記録してあるという意味です。
像の再生には、記録した時の光線(参照光といいます)で再生すると、「フーリエ変換像」が再生できます。
しかし、このままでは模様は見えないのでレンズを使いもう一度フーリエ変換すると(これを逆フーリエ変...続きを読む

Qレーザのスポット径の計算式

自分が使用しているレーザの加工サイズ(スポット)径を計算式から算出したいと考えています.以前同様の質問に対し,mickjey2さんが丁寧に回答してくださったにも関わらず,自分の知識の無さから未だに解決していない次第です.式としては、
(1)スポット径w=4λd/πw0
         λ:波長
          d:対物レンズの焦点距離
         w0:レンズに入射するビーム径
(2)スポット径w=w0*{1+(λd/πw0^2)^2}^1/2
の2つがあることは分かったのですが,どちらを使用して良いのか分からないのです.実際に波長1064nm,焦点距離30.5mm,入射ビーム径1.5mmで計算したのですが,スポット径にかなりの違いが見られました.
それぞれの式はどのような条件の際に用いるものなのかどなたか教えてください.宜しくお願いします.
(どちらかがガウスビームの式なのでしょうか?)
最後にもう一つ,私の使用するレーザユニットはM^2~1.5と表記されています.ガウスビームとみなす事が出来るでしょうか?
         

自分が使用しているレーザの加工サイズ(スポット)径を計算式から算出したいと考えています.以前同様の質問に対し,mickjey2さんが丁寧に回答してくださったにも関わらず,自分の知識の無さから未だに解決していない次第です.式としては、
(1)スポット径w=4λd/πw0
         λ:波長
          d:対物レンズの焦点距離
         w0:レンズに入射するビーム径
(2)スポット径w=w0*{1+(λd/πw0^2)^2}^1/2
の2つがあることは分かったのですが,どちらを使用して良い...続きを読む

Aベストアンサー

ではすぐに計算できる形でご提供しましょう。
使用する式は加工用途のYAGレーザですからガウシャンビームの式の発展版を使います。(詳しくは大御所お二方の書かれた "Output Beam Propagation and Beam Quality from a Multimode Stable-Cavity Laser", Anthony E.Siegman, Fellow IEEE, and Steven W.Townsend, IEEE Jurnal of uantum Electronics, Vol.29, No.4, April 1993 でも参照下さい。)

平行な、半径r、BQFactorがM2、ビームを焦点距離fのレンズに入射したとき、ビームウエスト半径r0は、

r0 ^2 = { r^2 * f^2 / Zr^2 } / { 1 + (f/Zr)^2 }

ここで、 Zr = π * r^2 * n / {M2 * λ}

M2 : M^2 の値
λ : 波長
 n : 屈折率(空気中ならばほとんど1)

全部MKSA単位で計算すればOKです。
M2が1からはずれてくると段々と上式と実際のスポットには食い違いが生じてきますのでご注意下さい。(詳しくは論文を読んで下さい)

ではすぐに計算できる形でご提供しましょう。
使用する式は加工用途のYAGレーザですからガウシャンビームの式の発展版を使います。(詳しくは大御所お二方の書かれた "Output Beam Propagation and Beam Quality from a Multimode Stable-Cavity Laser", Anthony E.Siegman, Fellow IEEE, and Steven W.Townsend, IEEE Jurnal of uantum Electronics, Vol.29, No.4, April 1993 でも参照下さい。)

平行な、半径r、BQFactorがM2、ビームを焦点距離fのレンズに入射したとき、ビームウエスト半径r0は、

r0...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q開口数 NAって どんな数字のことですか??

レンズとかで 開口数 NAっていう数字を聞きますが、
(1)どんな意味なんでしょうか?

(2)その数字が大きいとどうで、小さいとどうなんでしょう?

(3)たとえば、一般的なものでは、どのくらいの数字が常識で
どのくらいの数字だと 限界だとか、すごいレンズだってことになるんでしょうか?

------

光学関係の本をちょっと見れば載っているのかもしれませんが、
不精ですいません。ここで質問させてください。


_

Aベストアンサー

NAの定義は、
NA = n * sinθ
です。(nは光路の屈折率)
いまレンズがあって、その先に焦点があるとします。
レンズを通った光が焦点に結ぶことを考えますと、レンズのどの位置の光も焦点一つに集まります。
ここで、レンズの両端から出た光が焦点に集まるとき、円錐状に光が集まる図を書くことが出来ますよね。
(イメージできます?円錐の頂点が丁度焦点です)
このときの、円錐を横から見た時の頂角が2θになります。
つまり、θは0より大きく、90度よりは小さくないといけません。
従って、NAも普通は0<NA<1の間の数値となります。
簡単には、焦点距離がfで、レンズの半径がrとすると、tanθ=r/fですから、これからθを求めてsinθを求めれば良いわけです。

さて、この数値は色んな目的に使われます。
一つは明るさです。一つの点から出た光は通常四方八方に進みますが、NAが大きいと取り込む角度が大きいので明るくなります。
もう一つは焦点深度です。NAが大きいと焦点から像がずれたときに、大きくぼけます。
最後に、解像度です。これの説明はちょっとやっかいですが、基本的に光は絶えず広がろうとする性質(回折)があると思って下さい。
そのため、もし非常に小さく絞り込もうとすると大きな角度θで絞り込まないと、光の広がろうとする性質がレンズに打ち勝ってしまって、絞り込め無くなります。

これまでの話で大体おわかりと思いますが、NAが小さい方は特別すごいことではありません。NAが大きい方はすごいことです。
用途によってすごさは変わってきますが、顕微鏡だと0.7位は特別ではないでしょう。0.8以上だと高解像度になってきます。
中には1.0とか、1を越える場合もあり、これはすごいことです。
ちなみに、1を越えるためには、光路を屈折率1以上の物質(実際には水溶液)でレンズと被測定対象物を満たしてあげます。

別の用途として、高精度レンズといえば半導体の回路を焼き付けるステッパー用レンズでしょう。これはNA=0.65位が普通、NA=0.7, 0.75だと高解像度、中にはNA=0.8という超高解像度のものもあります。

では。

NAの定義は、
NA = n * sinθ
です。(nは光路の屈折率)
いまレンズがあって、その先に焦点があるとします。
レンズを通った光が焦点に結ぶことを考えますと、レンズのどの位置の光も焦点一つに集まります。
ここで、レンズの両端から出た光が焦点に集まるとき、円錐状に光が集まる図を書くことが出来ますよね。
(イメージできます?円錐の頂点が丁度焦点です)
このときの、円錐を横から見た時の頂角が2θになります。
つまり、θは0より大きく、90度よりは小さくないといけません。
従って、NAも普通...続きを読む

Q少数キャリア密度について

P(リン)を1×10^17cm^-3ドープしたn型Siについて全てのPイオン化しているとき室温における少数キャリア密度を求めよ。

(少数キャリア密度の2乗)ni^2=N_c*N_vexp(-E_g/K_BT)
ですが式の中のE_gの値がわかりません
どうやって出せばいいのですか?

Aベストアンサー

理屈でE_g、すなわちバンドギャップの大きさを出そうと思ったらバンド計算しなければならず、プロでなければまず無理です。普通はそんな事しないで、教科書等に載っている文献値を使います。Siのバンドギャップは約1.1eVです。

Q単スリットでのレーザ光の回折:量子力学

非常に基本的な質問ですがよろしくお願いします。    単スリットに単色レーザを入射させると、なぜ干渉縞が現れるのでしょうか?二重スリットならともかく、単スリットであるのに干渉縞が現れる原因がわからずにいます。   また、同様に電子波を単スリット(二重スリットではなく)に入射させても、干渉縞は現れるのでしょうか?   

Aベストアンサー

単スリットでも干渉するのは、スリットに幅があるためです。
単スリットは、滅茶苦茶小さいスリットが無数に並んでいるようなものです。
干渉パターンは矩形のフーリェ変換(の2乗)の形になるのではなかったですか?
たしか、xを中心からの距離に比例するものとして、(sinx/x)^2の形だったはず。

2重スリットによる干渉を考える場合、通常、
スリット自身の幅はスリット間隔に比べて無視できるとして計算しますが、
2重スリットの場合でも、きちんとスリット自身の幅も考慮して計算すると、
本当は、干渉縞は一様に現われるのではなく、(sinx/x)^2の強度をともなって現われ、
干渉パターンは、
《単スリットによる干渉効果(sinx/x)^2》×《2重スリットによる干渉効果》
とう形になることがわかります。
ただし、スリットの幅の効果は(sinx/x)^2の形なので、
ファーストピーク以外はかなり光の強度が弱くなりまず。
また、単スリットがつくる干渉パターンのスケールの方が、
2重スリットがつくる干渉パターンのスケールよりずっと大きいです。
単スリットでの干渉模様が、スリットを2重にすることで細かい格子模様になる、
と考えた方がよいでしょう。
通常はスリットの幅をスリット間隔に比べ0と考えるので、
ファーストピークを与える幅がスクリーンの全域になると錯覚しがちなのです。

電子の干渉も原理的にはレーザーの干渉と同じはずです。

単スリットでも干渉するのは、スリットに幅があるためです。
単スリットは、滅茶苦茶小さいスリットが無数に並んでいるようなものです。
干渉パターンは矩形のフーリェ変換(の2乗)の形になるのではなかったですか?
たしか、xを中心からの距離に比例するものとして、(sinx/x)^2の形だったはず。

2重スリットによる干渉を考える場合、通常、
スリット自身の幅はスリット間隔に比べて無視できるとして計算しますが、
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