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微分方程式の非線形2階微分方程式が解けないので教えてください!特殊解とその見つけ方だけでもお願いします。
yの2階微分をy"、1階微分をy'とさせてもらいます。

(1) y"-6y'+9y=xe^(4x)

(2)y"-3y'+2y=1/(1+e^(-x))

よろしくお願いします。回答急募です。

A 回答 (4件)

定数係数斉次線形2階微分方程式の解法は決まっているので特殊解


のみ。

(1)
これは微分演算子法の公式で解き方は決まっている。
 y={1/(D²-6D+9)}xe^(4x)={1/(D-3)²}xe^(4x)
  =e^(-4x){1/(D-7)²}{e^(-4x)xe^(4x)}・・・公式1、a=-4
  =e^(-4x){1/(D-7)²}{x}

これは色々な方法で解け、(Ax+B)と仮定して係数を決定しても
よいが、山辺の方法が簡単で計算間違いもない。すると
  =e^(-4x){1/(D²-14D+49)}{x}
  =e^(-4x)(x/49+14/49²)

公式1
 {1/f(D)}F(x)=e^(ax){1/f(D+a)}{e^(-ax)F(x)}


(2)
y=ue^(ax) と変換すると
 y'=u'e^(ax)+aue^(ax)=(u'+au)e^(ax)
 y''=(u''+2au'+a²u)e^(ax)
すると与式は
 {u''+(2a-3)u'+(a²-3a+2)u}e^(ax)=1/(1+e^(-x))
→ u''+(2a-3)u'+(a²-3a+2)u=e^(-ax)/(1+e^(-x))
ここで、a=1 と選ぶと
 u''-u'=e^(-x)/(1+e^(-x))
→ (u'e^(-x)}'e^(x)=e^(-x)/(1+e^(-x))
→ u'e^(-x)=∫e^(-2x)/(1+e^(-x))=log(1+e^(-x))-e^(-x)
→ u'=e^(x)log(1+e^(-x))-1
→ u=e^(x)log(1+e^(-x))+x+log(1+e^(-x))-x
   =e^(x)log(1+e^(-x))+log(1+e^(-x))
   =(e^(x)+1)log(1+e^(-x))

→ y=e^(x)(e^(x)+1)log(1+e^(-x))



なお、v=e^(-x) とおくと、dv=-e^(-x)dx=-vdx → dx=-dv/v
なので
 ∫e^(-2x)/(1+e^(-x))=-∫v/(1+v)dv=∫(1/(1+v)-1)dv
   =log(1+v)-v=log(1+e^(x))-e^(-x)
を使った。

同様に
 ∫e^(x)log(1+e^(-x)) dx
  =e^(x)log(1+e^(-x))-∫e^(x)(-e^(-x))/(1+e^(-x))dx
  =e^(x)log(1+e^(-x))+∫1/(1+e^(-x))dx
  =e^(x)log(1+e^(-x))-∫1/{v(1+v)}dv
  =e^(x)log(1+e^(-x))-∫{1/v-1/(1+v)}dv
  =e^(x)log(1+e^(-x))-{logv-log(1+v)}
  =e^(x)log(1+e^(-x))-{-x-log(1+e^(-x))}
  =e^(x)log(1+e^(-x))+x+log(1+e^(-x))
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(1)


y = z e^(4x) で置換すると、
z" + 8z' + 25z = x と整理できます。
この式を見れば、
z が x の一次式となる解があることは
すぐに気がつくんじゃないかな。
z = ax+b を代入して、恒等式になるように a,b を定めれば、
z = (1/25)x + (-8/625),
y = z e^(4x) = ((1/25)x - (8/625)) e^(4x)
がひとつの特殊解になりますね。
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(1)


y"-6y'+9y=xe^(4x)
D=d/dxとすると
D^2y-6Dy+9y=xe^(4x)
(D^2-6D+9)y=xe^(4x)
(D-3)(D-3)y=xe^(4x)
(D-3)e^(3x)e^(-3x)(D-3)y=xe^(4x)
e^(3x)De^(-3x)(D-3)y=xe^(4x)
De^(-3x)(D-3)y=xe^x
e^(-3x)(D-3)y=∫(xe^x)dx
e^(-3x)(D-3)y={(x-1)e^x}+A
e^(-3x)(D-3)e^(3x)e^(-3x)y={(x-1)e^x}+A
e^(-3x)e^(3x)De^(-3x)y={(x-1)e^x}+A
De^(-3x)y={(x-1)e^x}+A
e^(-3x)y=∫({(x-1)e^x}+A)dx
e^(-3x)y=(x-2)e^x+Ax+B

y=(x-2)e^(4x)+(Ax+B)e^(3x)

(2)
y"-3y'+2y=1/(1+e^{-x})
D=d/dxとすると
D^2y-3Dy+2y=1/(1+e^{-x})
(D^2-3D+2)y=1/(1+e^{-x})
(D-1)(D-2)y=1/(1+e^{-x})
(D-1)(e^x)e^(-x)(D-2)y=1/(1+e^{-x})
(e^x)De^(-x)(D-2)y=1/(1+e^{-x})
De^(-x)(D-2)y=1/(1+e^x)
e^(-x)(D-2)y=∫{1/(1+e^x)}dx
e^(-x)(D-2)y=∫{1-(e^x)/(1+e^x)}dx
e^(-x)(D-2)y=x-log(1+e^x)-A
e^(-x)(D-2)e^(2x)e^(-2x)y=x-log(1+e^x)-A
e^(-x)e^(2x)De^(-2x)y=x-log(1+e^x)-A
(e^x)De^(-2x)y=x-log(1+e^x)-A
De^(-2x)y=xe^(-x)-e^(-x)log(1+e^x)-Ae^(-x)
e^(-2x)y=∫{xe^(-x)-e^(-x)log(1+e^x)-Ae^(-x)}dx
e^(-2x)y=-(x+1)e^(-x)-x+(1+e^{-x})log(1+e^x)+Ae^(-x)+B

y=-(x+1)(e^x)-xe^(2x)+(e^{2x}+e^x)log(1+e^x)+(Ae^x)+Be^(2x)
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(1)


y"-6y'+9y=xe^(4x)
D=d/dxとすると
D^2y-6Dy+9y=xe^(4x)
(D^2-6D+9)y=xe^(4x)
(D-3)(D-3)y=xe^(4x)
(D-3)e^(3x)e^(-3x)(D-3)y=xe^(4x)
e^(3x)De^(-3x)(D-3)y=xe^(4x)
De^(-3x)(D-3)y=xe^x
e^(-3x)(D-3)y=∫(xe^x)dx
e^(-3x)(D-3)y={(x-1)e^x}+A
(D-3)y=(x-1)e^(4x)+Ae^(3x)
(D-3)e^(3x)e^(-3x)y=(x-1)e^(4x)+Ae^(3x)
e^(3x)De^(-3x)y=(x-1)e^(4x)+Ae^(3x)
De^(-3x)y={(x-1)e^x}+A
e^(-3x)y=∫({(x-1)e^x}+A)dx
e^(-3x)y=(x-2)e^x+Ax+B

y=(x-2)e^(4x)+(Ax+B)e^(3x)
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