幾何学の問題について

p(t)＝(t,2cosht/2)とする。この時、tを孤長パラメータsで表せ。ただしlogを使って表すこと。

この問題の解き方をお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/26 16:52

p(t)=(t,2cosh(t/2))

p'(t)=(1,sinh(t/2))

s
=∫_{0～t}|p'(t)|dt
=∫_{0～t}|(1,sinh(t/2))|^2dt
=∫_{0～t}√{1+{sinh(t/2)}^2}dt
=∫_{0～t}√[1+{e^(t/2)-e^(-t/2)}^2/4]dt
=∫_{0～t}√[{(e^t)+e^(-t)+2}/4]dt
=∫_{0～t}√[{(e^{t/2}+e^{-t/2})^2}/4]dt
=∫_{0～t}{(e^{t/2}+e^{-t/2})/2}dt
=[e^{t/2}-e^{-t/2}]_{0～t}
=e^{t/2}-e^{-t/2}
↓
e^{t/2}-e^{-t/2}=s
↓
(e^{t/2})^2-se^{-t/2}-1=0
↓
[e^(t/2)-{s+√(4+s^2)}/2][e^(t/2)+{-s+√(4+s^2)}/2]=0

↓e^(t/2)+{-s+√(4+s^2)}/2>0だから

e^(t/2)={s+√(4+s^2)}/2
↓logをとると
t/2=log{s+√(4+s^2)}-log2
∴
t=2log{s+√(4+s^2)}-2log2

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/11/26 16:17

間違えました。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/26 14:25

s は「孤長」なので、 s = ∫｜(d/dt)p(t)｜dt です。

微分すれば、 ds/dt = ｜(d/dt)p(t)｜ = ｜ (dt/dt, (d/dt)2cosh(t/2)) ｜
= ｜ (1, sinh(t/2) ｜ = √( 1^2 + (sinh(t/2)^2 ) = cosh(t/2) となりますね。
これを積分すれば、 s = 2sinh(t/2) + C {Cは定数} です。

t を s で表すと t = 2(sinh^-1)( (s-C)/2 ) なのですが、
問題には、「ただしlogを使って表すこと」とありますね。
要するに、sinh^-1 を log で表わせということなのでしょう。

s = 2sinh(t/2) + C は (s-C)/2 = ( e^(t/2) - e^(-t/2) )/2 とも書けるので、
これを u = e^(t/2) についての方程式 (s-C)/2 = (u - 1/u)/2 と見ると
二次方程式 u^2 - (s-C)u - 1 = 0 を解いて u = ( s-C ±√((s-C)^2 + 4) )/2.
よって、 t = 2log(u) = 2log( ( s-C ±√((s-C)^2 + 4) )/2 ) になります。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/11/26 12:21

x(t)=t, y(t)=2cosh(t/2)

　x'(t)=1, y'(t)=2(sinh(t/2))/2=sinh(t/2)

　s=√{1²+(sinh²(t/2)²}=cosh(t/2) (s=cosh()≧1>0)
　　={e^(t/2)+e^(-t/2)}/2
→ e^2(t/2)-2s e^(t/2)+1=0
→ e^(t/2)={s±√(s²-1)}
→ t/2=log{s±√(s²-1)}

ここで、符号がーのときは単調減少なので+をとると(弧長は単調増加
だから)
　t=2log{s+√(s²-1)}

以上から
　p(s)=( 2log{s+√(s²-1)} , 2s )