【高校数学】確率の問題

ある工場の製品は不良品率が1割である。
この製品1600個を購入したとき、不良品が150個以上になる確率を求めよ。

この問題の解説と解答を教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/30 00:33

不良であるかないか、という「二者択一」の個数の分布なので、二項分布

　B(1600, 1/10)
に従います。

期待値は
　E[X] = np = 160
分散は
　V[X] = np(1 - p) = 144

個数（試行数）が大きいので、正規分布 N(160, 12^2) で近似できます。
これを標準正規分布 N(0, 1^2) にするために
　Z = (X - 160)/12
で変換すると、X=150 は
　Z = (150 - 160)/12 = -5/6 ≒ -0.83

よって
　P(150≦X) = P(-0.83≦Z) = 1 - P(0.83≦Z)
下記の標準正規分布表から
　P(0.83≦Z) = 0.203269 ≒ 0.20
なので
　P(150≦X) ≒ 1 - 0.2 ＝ 0.8

↓　標準正規分布表
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/01 12:43

#2です。

企業の実務家として、このサイトを覗かれているサラリーマンのために、8割にもなることは、実際は起こり得ないということを書きたいと思います。

ただし、高校数学からは逸脱します。

まず、期待値が0.1になるような不良率の分布を考えます。それが添付図です。おおかたは、不良はそんなに発生しませんが、時には30～40％発生することもあり、平均して10％なんです。

この分布関数をベータ関数（ｐ）で表します。これが不良率ｐの発生頻度になります。

150個以上になる確率も、このｐの関数になります。二項分布です。

そして、全体の期待値は、Σ（ベータ関数（ｐ）×150個以上の累積確率（ｐ））です。

これを計算すると、0.414となります。上記の仮定で、不良品が150個以上になる確率は約40％程度なんです。80％もありません！

高校の数学の先生は、一度企業に来て工場実習して欲しいと思います。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/01 10:12

これは、事例としてはマズい問題ですよ。

ある工場では不適合品率が平均10％だとしても、これは毎日変動しているんですよ。（ここで「不適合品」は不良品のJISにおける呼称です）

毎日、正確に10％の不適合を作れと言われても、できるもんじゃない。

だから、この1600個のロットを生産したときの不適合品率がどんなだったかを、まずは分布で仮定し、その条件付き確率で1600個中の不適合品率を計算する必要があると思います。全体の確率はその積和になります。

しかし、不適合品率の確信度が分からないと、分布が求められませんからねぇ。

やっぱり、#1さんのようにするしかないのか。