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ある工場の製品は不良品率が1割である。
この製品1600個を購入したとき、不良品が150個以上になる確率を求めよ。

この問題の解説と解答を教えてください!

A 回答 (3件)

不良であるかないか、という「二者択一」の個数の分布なので、二項分布


 B(1600, 1/10)
に従います。

期待値は
 E[X] = np = 160
分散は
 V[X] = np(1 - p) = 144

個数(試行数)が大きいので、正規分布 N(160, 12^2) で近似できます。
これを標準正規分布 N(0, 1^2) にするために
 Z = (X - 160)/12
で変換すると、X=150 は
 Z = (150 - 160)/12 = -5/6 ≒ -0.83

よって
 P(150≦X) = P(-0.83≦Z) = 1 - P(0.83≦Z)
下記の標準正規分布表から
 P(0.83≦Z) = 0.203269 ≒ 0.20
なので
 P(150≦X) ≒ 1 - 0.2 = 0.8

↓ 標準正規分布表
https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty …
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#2です。



企業の実務家として、このサイトを覗かれているサラリーマンのために、8割にもなることは、実際は起こり得ないということを書きたいと思います。

ただし、高校数学からは逸脱します。

まず、期待値が0.1になるような不良率の分布を考えます。それが添付図です。おおかたは、不良はそんなに発生しませんが、時には30~40%発生することもあり、平均して10%なんです。

この分布関数をベータ関数(p)で表します。これが不良率pの発生頻度になります。

150個以上になる確率も、このpの関数になります。二項分布です。

そして、全体の期待値は、Σ(ベータ関数(p)×150個以上の累積確率(p))です。

これを計算すると、0.414となります。上記の仮定で、不良品が150個以上になる確率は約40%程度なんです。80%もありません!

高校の数学の先生は、一度企業に来て工場実習して欲しいと思います。
「【高校数学】確率の問題」の回答画像3
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これは、事例としてはマズい問題ですよ。



ある工場では不適合品率が平均10%だとしても、これは毎日変動しているんですよ。(ここで「不適合品」は不良品のJISにおける呼称です)

毎日、正確に10%の不適合を作れと言われても、できるもんじゃない。

だから、この1600個のロットを生産したときの不適合品率がどんなだったかを、まずは分布で仮定し、その条件付き確率で1600個中の不適合品率を計算する必要があると思います。全体の確率はその積和になります。

しかし、不適合品率の確信度が分からないと、分布が求められませんからねぇ。

やっぱり、#1さんのようにするしかないのか。
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