負のフェルミエネルギー

フェルミエネルギーは、化学ポテンシャルと同じようなものです。
化学ポテンシャルの場合、負になることもあります。

負のフェルミエネルギー状態は存在するのでしょうか？

質問者からの補足コメント

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  負のフェルミエネルギーについて考えました。
  
  例えば、多成分系である物質A（α層、β層、γ層）と物質Bが、ある反応をして物質Aが励起して、その励起状態を基準にした場合、
  ・α層、β層が発熱反応すれば、フェルミエネルギーが正
  ・γ層が吸熱反応すれば、フェルミエネルギーが負
  
  という具合にならないでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/12/22 21:59

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  フェルミ準位（フェルミエネルギー）の定義は、下記のｐ４４で
  
  温度ゼロにおいて、占有状態と非占有状態を分けるエネルギーを、フェルミ準位 (Fermilevel) EF と呼ぶ
  
  です。そうしますと、負になるのは、想像が困難です。
  
  https://home.hiroshima-u.ac.jp/ino/lecture/SSP1n …

    補足日時：2022/12/23 17:07

• 

  ＞この時の基準点は、電子が原子から無限遠の距離に引き離された状況です(このエネルギーを"真空準位"と呼んでます)。
  
  統計力学によりますと、金属は、常温でほとんどフェルミ縮退（＝下から順番にエネルギーが詰まっている）していると考えてOKらしいです。
  "真空準位"とかとったら、フェルミ縮退している云々の意味が、訳わからなくなってきます。
  
  まあ、私の勉強不足で、難しい固体物理とかでは、"真空準位"とか使っているのかもしれません。
  でも、統計力学と半導体物理面から考えると、違和感があります。汗。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/12/23 20:16

• 

  もしかして、、３Fで成立する法則は、地下３Fでも成立する、、という当たり前の議論になっている気もします。汗。
  
  負のフェルミエネルギーは、パウリの排他律に反するので、通常は存在しないはず？正も負も当たり前に存在する化学ポテンシャルとは違うのでは？という趣旨の質問で御座います。

    補足日時：2022/12/23 20:40

• 

  真空準位の変化が電場です。
  
  真空準位を基準にしたら、電場がある状態や非平衡状態は扱えない、、、
  特殊な限定された場合しか、扱えないはずです。

    補足日時：2022/12/24 13:36

No.9 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2022/12/24 15:06

うーん、そうね、各点で真空準位を定義する場合もありますね。

十分遠方の真空準位を想定しています。

というか実際に使う場面に限れば真空準位があると言ってるだけで、「貴方が採用している基準より1 MeVエネルギーが高い所を基準にする」だって構わないのですよ。



> ・温度ゼロにおいて、占有状態と非占有状態を分けるエネルギーを、フェルミ準位。
これだけが正しい。他は貴方の思い込み。

上の定義に基づいて、V_0を定数として、ハミルトニアンが
H=p^2/2m + V_0
と与えられる系のフェルミエネルギーを求めてみてはいかがですか？

V_0が負だったらフェルミエネルギーも負になり得るなは一目瞭然だと思うのですが。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

>これだけが正しい。他は貴方の思い込み。

他の教科書を読んでも、このように定義されてますので、ほぼ間違いないはずです。

>V_0が負だったらフェルミエネルギーも負になり得るなは一目瞭然だと思うのですが。

一般的には負のフェルミエネルギーは存在しないはずです。でも、存在してもおかしくはないとは思います。汗。

お礼日時：2022/12/24 17:38

No.8 回答者： eatern27 回答日時： 2022/12/24 11:15

貴方が挙げているのは、特定の基準(k=0の状態のエネルギー)を選んだ場合の話です。

そうやって特定の基準を選んだ後の話をするなら、選び方によって負になる事もならない事もあります。

他の人を含めて言ってるのは、エネルギーの基準を変えればフェルミエネルギーの値は好きな値にできると言う事です。
基準は理論上はどこを選んだって構わないのです。だからこそ計算しやすいなどの人の都合だけで、基準を決める事ができるんですよ。変な所を基準にしたら話がわかりにくくなるだけだから、普通はしないというだけ。

具体例は実際に使われる事のある例に限ると、既に挙がってますが、真空準位を基準にした場合ですね。
貴方はこの例が不適切だと思われているようですが、仰る意味が分からないので、まずは貴方が考えている「フェルミエネルギー」の定義を書いてみて下さい。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

>真空準位を基準にした場合ですね。

PN接合をした場合、バンド図で考えますと、真空準位の一部は曲がって変化します。
基準線が、変化するようなモデルは、非常に扱いにくいので、多分、どんな統計力学を扱う理論でも、真空準位を基準にしないと予想します。多分ですが、、、

＞貴方が考えている「フェルミエネルギー」の定義を書いてみて下さい。

繰り返しになりますが、以下の通りです。

・フェルミエネルギーが正→反発力が作用している。→パウリの排他律に従っている状態。
・フェルミエネルギーが負→引力が作用している。→パウリの排他律に従ってない状態。
・温度ゼロにおいて、占有状態と非占有状態を分けるエネルギーを、フェルミ準位。
・フェルミエネルギーはフェルミ球で表され、通常は、パウリの排他律に従っているのでプラス。

お礼日時：2022/12/24 11:56

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2022/12/23 23:02

「常温で最低エネルギーの基準を０にリセット」

の意味がよくわかりませんが、


フェルミエネルギーもエネルギーなんだから、選んだ基準を使って値を決めるんです。フェルミ準位より高エネルギーの状態を基準にすれば、フェルミエネルギーは負になる。それだけの話です。

特定の基準を選んだ場合の話をしているのなら、どう選ぶのかを決めて下さい。

> ・フェルミエネルギーが正→反発力が作用している。→パウリの排他律に従っている状態。
>・フェルミエネルギーが負→引力が作用している。→パウリの排他律に従ってない状態。

何でそう思ったのか分からないので、何を説明すれば良いのかわかりませんが、1個目の矢印から違います。

フェルミエネルギーを含めエネルギーの値そのものは基準の選び方で変わってしまうので、値そのものが物理的な意味を持つ事は決してありません。
意味があるのはふたつのエネルギーの差です。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

>値そのものが物理的な意味を持つ事は決してありません。

フェルミエネルギーの物理的な意味は下記のｐ４４の

温度ゼロにおいて、占有状態と非占有状態を分けるエネルギーを、フェルミ準位 (Fermilevel) EF と呼ぶ

です。そうしますと、フェルミ球の体積がマイナスになりますし、想像が困難です。

https://home.hiroshima-u.ac.jp/ino/lecture/SSP1n …

＞意味があるのはふたつのエネルギーの差です。

フェルミエネルギーが負になる具体例をご教示頂きましたら幸いです。

少なくとも、電子フェルミ気体と半導体（擬フェルミ順位を含めて）の場合は、ないと思います。

お礼日時：2022/12/24 10:29

No.6 回答者： d9win 回答日時： 2022/12/23 22:35

貴方の議論は"自由電子モデル"を前提にしてように思います。

wikipediaは"自由電子"を次のように説明してます。
「自由電子とは、束縛を受けていない電子のこと。.... 通常、電子は何らかの束縛を受けているため、自由電子は実在しないが、問題を簡潔にし自然科学への理解を助ける」
そして、「この自由電子を用いたモデルを、自由電子モデルと言う。現実の電子系について、それらが自由電子であると仮定する近似を自由電子近似と言う。...」と続きます。
このように、自由電子は、他の何物(原子や電子)にも関与せずに、それだけが存在している単純化した仮想状態です。何物にも束縛されてないので、その最低エネルギーは0です。(それは"真空準位"にある状況です)
しかしながら、結晶状態は言うに及ばず、原子内の電子にも当てはまりません。実際の原子や半導体結晶の中の電子は、クーロン力や化学的な結合力による束縛を受けてます。自由な状態よりもエネルギーが低いから、そのような安定な構造の一部になり得ている訳です。現実の物体中の電子のエネルギーは負なのです。

化学的な結合形態が想定できないのだから、自由電子モデルでは"化学ポテンシャル"は存在しません。そのため、フェルミ エネルギーとかフェルミ準位という名を新たに付ける必要が生じたのでしょう。実際の物質では、その"化学ポテンシャル"こそが、フェルミ統計で言うフェルミ エネルギーE_Fであると見なし得ると、私は理解してます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

真空準位は、下記のfig.1のように金属、n型半導体の接触したら、変化するものです。
従いまして、通常、真空準位を基準にしたバンド図とか、モデルとか、ないはずです。


真空準位を基準にして、フェルミエネルギーが負になっている具体例を教えて下さい。

http://kawasaki.web.nitech.ac.jp/jp/tips/2018/1J …

お礼日時：2022/12/24 13:13

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2022/12/23 20:57

例えば地下室に置いてある(静止している)物体の全エネルギー(全力学的エネルギー)は、地上の地面を位置エネルギーの基準にしたら負になります。

この事は想像できるのでしょうか？話はこれと何も変わらないのですけどね。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

＞この事は想像できるのでしょうか？話はこれと何も変わらないのですけどね。

想像できます。

そのとき、常温で最低エネルギーの基準を０にリセットしたとします。
その場合、フェルミエネルギーは負になっているのでしょうか？

・フェルミエネルギーが正→反発力が作用している。→パウリの排他律に従っている状態。
・フェルミエネルギーが負→引力が作用している。→パウリの排他律に従ってない状態。

もし負になっていたら、パウリの排他律に従ってないことになるはずです。

お礼日時：2022/12/23 22:03

No.4 回答者： d9win 回答日時： 2022/12/23 18:47

引用サイトの(式3-1-1)の確率値は分母の(E-E_F)の値で決まります。

E= E_Fで有りさえすればP= 0.5となります。一般的に、エネルギーの値は基準点の取り方でどうにでも設定できて、相対値のみが意味を持ちます。
質問者は、そもそもエネルギーが負であることに引っ掛かりを感じているようですが、それは基準点よりも低いエネルギーであることを表しているのに過ぎません。
例えば水素の電子軌道エネルギーは-13.6eVと知られてます(イオン化エネルギーは13.6eV)。この時の基準点は、電子が原子から無限遠の距離に引き離された状況です(このエネルギーを"真空準位"と呼んでます)。
さらに、シリコンの場合、イオン化エネルギーは8.2eVで、単体のシリコン原子の最外殻電子のエネルギーは、真空準位よりも-8.2eVの位置にあります。そして、シリコン結晶原子の最外殻電子のエネルギー(すなわち、結合エネルギー)は、先のシリコン原子の最外殻電子よりも4.7eV高い位置にあります。この電子エネルギーが化学ポテンシャル(物理学でいうフェルミエネルギーE_F)で、E_F= -8.2 + 4.7 = -3.5eVになります。そして、この関係は温度に関わりなく成り立ってます。

この回答へのお礼

>一般的に、エネルギーの値は基準点の取り方でどうにでも設定できて、相対値のみが意味を持ちます。

それはそうかもしれませんが、フェルミ分布の場合、その基準は一番低い位置を０にしないと統計力学が成立しないと思います。

"真空準位"で、マイナスのイオン化エネルギーを定義して、フェルミ分布が成立するのでしょうか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7 …

フェルミ準位（フェルミエネルギー）の定義は、

温度ゼロにおいて、占有状態と非占有状態を分けるエネルギーを、フェルミ準位 (Fermilevel) EF と呼ぶ

です。そうしますと、負になるのは、想像が困難です。

お礼日時：2022/12/23 19:59

No.3 回答者： d9win 回答日時： 2022/12/23 00:41

化学反応に与るのは原子の最外殻電子ですので、化学ポテンシャルはこの最外殻電子のエネルギー値で示し得ます。

ある原子とその化合物を対象とした中で、最も安定な状態は各原子が独立して存在している状況です。すなわち、最外殻電子のエネルギーは、ガス状の孤立原子である時が最低です。そして、その原子がイオン化して最外殻電子が真空中にある時が最高になります。"化学ポテンシャル"は、他の原子と化合している際の最外殻電子のエネルギー値に当たりますので、両者の中間の値になります。
最外殻電子のエネルギーは元素ごとに異なるので、最外殻電子が真空にある状況を基準にして0とするのが妥当です。すると、どの化学ポテンシャルも負値で表されます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

化学ポテンシャルは、そうかもしれません。しかし、下記の疑問があります。

フェルミ・ディラックの分布の場合、フェルミ準位（フェルミエネルギー）での電子の存在確率は５０％でなければなりません。
真空にある状況を基準にして0として、電子の存在確率は５０％になるのでしょうか？


http://okawa-denshi.jp/techdoc/3-1-6Ferumi.htm

お礼日時：2022/12/23 12:40

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/22 15:41

ちょいと調べた.

https://www.researchgate.net/post/What-is-the-re …
とか?

この回答へのお礼

お調べ頂きまして、有難う御座います。

化学ポテンシャルとは、系に1粒子をねじ込むために必要な内部エネルギーの増分です。
すなわち、化学ポテンシャルの場合、
・正のとき、反発力
・負のとき、吸引力
のような感じになるとイメージします。

フェルミエネルギーの場合、パウリの排他律のため、常に反発力がはたらくので、通常は、系に1粒子をねじ込むために必要な内部エネルギーの増分は、正になるはずです。

しかし、このPositive Fermi energy: What does it mean ?によりますと、No.1様の回答のように、どこに基準を定めるかで、化合物等では負になることもあるのですね。

でも、具体的には、よくわからないです。英語で御座いますし、、、、、汗。

お礼日時：2022/12/22 19:11

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2022/12/22 13:37

どこに基準を定めるか次第でしょ。

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

＞どこに基準を定めるか次第でしょ。

すいません。以下がわかりません。

金属中の電子のフェルミエネルギーは、下記の式（7-12）になります。

絶対零度の時には、下から順番に粒子がつまっていき N 番目の粒子が入った量子状態のエネルギーがフェルミ・エネルギーです。
この説明とこの式を見る限り、負になることがないように思えます。

どこかに基準を定めて、フェルミエネルギーが負になる具体例をご教示頂きましたら幸いです。
何卒宜しくお願い致します。

http://www.phys.shimane-u.ac.jp/tanaka_lab/lectu …

お礼日時：2022/12/22 15:05