確率過程について

ある会社が中途採用条件に年収800万円以下というものを課していて、その会社の中途採用の募集者の希望年収の平均が900万、標準偏差100の対数正規分布に従っているとします。このとき申し込み件数が平均で月1回のポアソン過程に従うとき会社の条件にあった人が来るまで半年以上掛かる確率を求めて頂きたいです。自分は5ヶ月目までは条件に合う人が来ない（0人）確率を求めて全体から引こうとしたのですが、よく分からなくなりました…

質問者からの補足コメント

• 一応問題文には過程と書いてあります。もしそれでは求まらないなら分布の間違いだと思われます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/13 22:40

• これが答えということで合ってますか？考えてみたところこれだと6ヶ月以上かかる確率では無い気がします…おそらく年収の条件とかも使うはずなのでもしかしたらポアソン分布なのかもしれません。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/14 12:12

No.5 ベストアンサー 回答者： qas2021 回答日時： 2023/01/15 14:26

「会社の条件にあった人が来るまで半年以上掛かる」ということは「半年間は会社の条件にあった人がここない」ということです。

申込件数は平均月1件のポアソン過程に従うことから、半年間の申込件数は平均 6件/月×1月 = 6件のポアソン分布に従います。
すなわち、半年間で n 件の申し込みがある確率は
6^n・exp(-6)/n!
であるということです。

希望年収は対数正規分布に従い、平均と標準偏差が分っているので、対数をとった場合の平均と標準偏差も計算できます。
それらと正規分布表等を用いれば、希望年収が800万円を超える確率を求めることができます。
この確率を p とおき、n 人の希望が独立であることを仮定すると、半年間に申し込みのあった n 人全員の希望年収が800万円を超える確率は、
p^n
となります。

したがって、求める確率は
Σ_{n = 0}^∞ 6^n・exp(-6)/n!・p^n
= exp(-6(1 - p))・Σ_{n = 0}^∞ (6p)^n・exp(-6p)/n!
= exp(-6(1 - p))
（ただし、p > 0）
となります。

p は計算が手間だったのでご自分で計算してください。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/15 12:58

もう１点、気になるのは、「少なくとも１人以上」とは書いてないので、たぶん条件にかなった人が見つかれば、募集が打ち切られると考えられることです。

普通はそうですよね。

すると、見つからない確率を１から引くと、６人全て採用するケースも含んでしまいます。

打ち切りを考えると、全体の試行数が減るので、そこも考慮しなければなりません。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/15 11:02

私も自信が無いので、自分の考えが正しいかどうか、テキストで確認しているところなんですが、言い出した手前、自分が考えていることを述べさせて下さい。

問題は、下記①の６か月経過後の分布をどう反映するか、です。
普通のポアソン過程の問題は、ここの確率を問うてますからね。
人の集まる確率、集まった人のうち条件に合う人の確率、この２者の確率をどうミックスするか、で悩んでいます。単なる同時確率で良いのかなあ。


①ポアソン過程なので、もしかすると最初の１か月めに６人来るかもしれないが、６か月経過後平均６人というのは変わらない（減ることはない）。
ただし、最終的に１人しか集まらないとか、10人集まったというケースも発生しうる。

②年収の条件から、１個人あたりの確率ｐは求められる。

③(１－ｐ)^ｎ がｎ人とも条件に合わない確率。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/13 23:00

ポアソン過程では、λ(t)＝λ・t ですので、6か月末日までの応募者は平均6名ということで、良いのかもじれません。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/13 22:29

ポアソン過程だと、単調増加になりますが、応募者は増えていくという仮定ですか？

ポアソン分布の間違いではありませんか。