ビリヤードの玉は元の位置に戻りますか。

もう少し厳密に書きます。

点が長方形の内部を直線で動きます。辺に当たると、辺に当たった角度と同じ角度で跳ね返ります(辺にθで当たったらπ-θで跳ね返る)

この点の動きには周期性がありますか。つまり、ある時の点の位置と方向に注目したとき、その状態からずっと動き続けると、いつかは同じ位置を同じ方向で通過するか？ということです。

もしも、周期性がない場合があるなら、周期性がある場合とない場合で何が違うのかを教えてください。

質問者からの補足コメント

• xy平面上でy=0の直線が壁だとして、原点(0,0)で跳ね返るとします。(範囲はy≧0)
  
  ここで、y=axの直線上(a＞0)を点が原点に向かって進んでいくと跳ね返ったあとはy=-axの直線上を進むとします。
  
  また、
  角で跳ね返る場合は、直角の中心である45°の線に対して対称になるように跳ね返ります。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/31 13:46

• ありがとうございます。
  
  辺の比が有理数だとして、最初の直線がy=axだとしてaが無理数でも戻りますか。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/31 13:52

• 本題は本文にあるような数学の問題で、知りたいのはそちらです。数学カテゴリーに聞いたのもそのためです。
  
  ビリヤードはイメージしやすいように使ったたとえです。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/31 14:00

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/31 14:13

＞ 最初の直線がy=axだとしてaが無理数でも戻りますか。

ああ、そうか。
長方形の x軸方向の辺長を X、 y軸方向の辺長さを Y として、
aX/Y が有理数であることが戻ってくる条件ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/02/06 16:57

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/31 15:16

辺の比が1:1の正方形で考えればわかりやすいでしょう。

直交座標系(x,y)で考えて、正方形のビリヤード台は{(x,y) | 0≦x＜1 ∧ 0≦y＜1}だと思うことにします。そして、4つの辺が鏡張りだと思ってください。
　玉（大きさはないものとする）が壁に当たって跳ね返る。その跳ね返った玉の鏡像を眺めれば、それは壁を突き抜けて鏡の中の世界へ直進していったのと同じになるでしょう。それが次に（鏡の中の世界の）壁に当たって跳ね返ると、それはまた（鏡の中の世界の）鏡の中の世界へ直進していったのと同じになる。つまり、玉の軌跡は、鏡の世界がズラリと並んだ無限の宇宙を直進していくだけです。
　さて、玉を(0,0)から打ち出したとします。その軌跡はy=axと表されます。aが無理数のとき、xとyが共に整数になることはありませんから、つまりこの軌跡は(0,0)以外の格子点(n,m)（n,mは整数）を通過できません。てことは、正方形のビリヤード台の中で跳ね返る玉はコーナーに到達することはない。つまり、(0,0)にも決して戻ってこないんで、周期性はない。

　一般には、統計力学において「エルゴード性」という概念で議論されます。玉は「状態」であり、これが走る空間はビリヤード台ではなくて「相空間」というものです。「元に戻ってくるような軌道（有限の長さをもつ周期軌道）は極めて例外的で、それが実現する確率は無視してよろしい」ということを仮定すると、いろんな話がすごく簡単になる。この仮定を「エルゴード仮説」と言います。逆に、相空間が「エルゴード仮説」が成り立たないような特殊な空間になるように実験系を仕組んでやると、一見「統計力学と矛盾する」ような現象が現れる。それには、状態にいろんな制約をつけてやるわけです。
　ま、ここでは書ききれないんで、勉強してください。

No.5 回答者： 冬湖 回答日時： 2023/01/31 14:10

>数学カテゴリーに聞いたのもそのためです。

角度変化が無限になり追従するには微積が必要となりそう？ですが、そこまでは習得できていませんので・・ここまでに　m(_ _)m

No.4 回答者： 冬湖 回答日時： 2023/01/31 13:41

>辺に当たった角度と同じ角度で跳ね返ります

真正面には同じ角度で跳ね返り(180度反転)となりますが、それ以外は同じ角度にはなりません。
ビリヤードの辺にはフェルト状の布地が貼ってあり、それが反発係数を落としているために入射角と反射角にずれが発生しで周期性が崩れてしまいます。
周期性は無く、同じ場所に戻すには反射角を考えた熟練された技が必要
周期性がある場合は真正面からの180度反転のみ

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/31 13:35

長方形の2辺の比が有理比なら、戻るでしょう。

比が無理数だと、周期性は無いと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/01/31 13:19

＞辺にθで当たったらπ-θで跳ね返る

その角度をどのようにとっているのか不明ですが、角度の取り方を共通にすれば

「辺にθで当たったらθで跳ね返る」

ことになるはずです。

No.1 回答者： kaguya_1005 回答日時： 2023/01/31 13:08

例えがビリヤードなので、ビリヤードでの返答とします。

答えは「戻ります」が、ビリヤードの場合は玉にスピンをかける事ができて跳ね返る角度を意図的に変えることができます。よって元の位置に戻すには玉を突く力など「条件付き」ということになります。